設(shè)函數(shù)f1（x）=x2+aex（其中a為非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底），記fn（x）=fn-1′（x）（n≥2，n∈N*）．
（1）求對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有fn（x）=fn-1（x）成立的最小整數(shù)n的值（n≥2，n∈N*）；
（2）設(shè)函數(shù)gn（x）=f2（x）+f3（x）+?fn（x），若對(duì)任意n≥3，n∈N*，y=gn（x）存在極值點(diǎn)x=tn，求證：點(diǎn)An（tn，gn（tn））（n≥3，n∈N*）在一定直線上，并求該定直線方程；
（3）是否存在正整數(shù)k（k≥2）和實(shí)數(shù)x0，使fk（x0）=fk-1（x0）=0，且對(duì)任意的正整數(shù)n,fn（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的k和x0，若不存在，說(shuō)明理由．
f
1
（
x
）
=
x
2
+
a
e
x
f
n
（
x
）
=
f
n
-
1
′
（
x
）
（
n
≥
2
，
n
∈
N
*
）
A
n
（
t
n
，
g
n
（
t
n
）
）
（
n
≥
3
，
n
∈
N
*
）
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；數(shù)列與函數(shù)的綜合．
【答案】（1）nmin=5；（2）證明見解析；An（tn，gn（tn））在直線y=2x上；（3）．
k
=
3
，
a
=
-
2
e
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：326引用：6難度：0.2
相似題
-
1．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f'（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）存在極小值點(diǎn)，求a的取值范圍．發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4 -
2．若函數(shù)
有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）f（x）=e2x4-axex發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：125引用：4難度：0.5 -
3．定義：設(shè)f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，已知函數(shù)
的對(duì)稱中心為（1，1），則下列說(shuō)法中正確的有（ ?。?/h2>f（x）=ax3+bx2+53（ab≠0）發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：184引用：7難度：0.5