綜合探究：探索等腰三角形中相等的線段
問題情境：
數(shù)學活動課上，老師提出了一個問題：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎？同學們就這個問題展開探究．
問題初探：
（1）希望小組的同學們根據(jù)題意畫出了相應的圖形，如圖1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)．經(jīng)過合作，該小組的同學得出的結(jié)論是DE=DF．并且展示了他們的證法如下：
證明：如圖1，
∵DE⊥AB，DF⊥AC．
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（依據(jù)1）．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDF中，
∠DEB=∠DFC ∠B=∠C BD=CD
，
∴△BDE≌△CDF（依據(jù)2）．
∴DE=DF．
①請寫出依據(jù)1和依據(jù)2的內(nèi)容：
依據(jù)1：等邊對等角（答案不唯一）等邊對等角（答案不唯一）．
依據(jù)2：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（答案不唯一）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（答案不唯一）．
②請你應用圖2寫出一種不同于希望小組的證法．
問題再探：
（2）未來小組的同學經(jīng)過探究又有新的發(fā)現(xiàn)，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如圖3．則CG與DE有確定的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系為CG=2DECG=2DE．
類比探究：
（3）奮斗小組的同學認真研究過后，發(fā)現(xiàn)了以下兩個正確結(jié)論：①在圖4中，若DE，DF分別為△ABD和△ACD的中線，那么DE=DF仍然成立；②在圖5中，若DE，DF分別為△ABD和△ACD的角平分線，那么DE=DF仍然成立．請你選擇其中一個結(jié)論，寫出證明過程．
∠ DEB =∠ DFC |
∠ B =∠ C |
BD = CD |
【考點】三角形綜合題．
【答案】等邊對等角（答案不唯一）；兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（答案不唯一）；CG=2DE
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：344引用：3難度：0.2
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：181引用：3難度：0.2 -
2．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)（當點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當∠AFD=°時，DF∥AC；當∠AFD=°時，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1666引用：10難度：0.1 -
3．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動點P從點A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1個單位的速度向點D運動：動點Q從點C出發(fā)，在線段BC上，以每秒2個單位的速度向點B運動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當t=秒時，PQ平分線段BD；
（2）當t=秒時，PQ⊥x軸；
（3）當時，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：140引用：3難度：0.1
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