數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．
[探究一]：
如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？陰影部分的面積是 a2-b2a2-b2．
如圖2，也可以把陰影部分沿著虛線AB剪開(kāi)，分成兩個(gè)梯形，陰影部分的面積是 （a+b）（a-b）（a+b）（a-b）．
用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)陰影部分的面積，可以得到等式 a2-b2=（a+b）（a-b）a2-b2=（a+b）（a-b）．
[探究二]：
如圖3，一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少條線段呢？
方法1：一路往右數(shù)，不回頭數(shù)．
以A1為端點(diǎn)的線段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1An，共有（n-1）條；
以A2為端點(diǎn)的線段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2An，共有（n-2）條；
以A3為端點(diǎn)的線段有A3A4、A3A5、…、A3An，共有（n-3）條；
…
以An-1為端點(diǎn)的線段有An-1An，共有1條；圖中線段的總條數(shù)是 （n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1（n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1．
方法2：每一個(gè)點(diǎn)都能和除它以外的（n-1）個(gè)點(diǎn)形成線段，共有n個(gè)點(diǎn)，共可形成n（n-1）條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍，所以線段的總條數(shù)是 n（n-1）2n（n-1）2．
用兩種不同的方法數(shù)線段，可以得到等式 （n-1）+（n-2）+（n-3）+?+3+2+1=n（n-1）2（n-1）+（n-2）+（n-3）+?+3+2+1=n（n-1）2．
[應(yīng)用]運(yùn)用探究一、探究二中得到的等式解決問(wèn)題．
計(jì)算：992-982+972-962+952-942+…+32-22+12．
n
（
n
-
1
）
2
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景；列代數(shù)式．
【答案】a2-b2；（a+b）（a-b）；a2-b2=（a+b）（a-b）；（n-1）+（n-2）+（n-3）+...+3+2+1；；
n
（
n
-
1
）
2
（
n
-
1
）
+
（
n
-
2
）
+
（
n
-
3
）
+
?
+
3
+
2
+
1
=
n
（
n
-
1
）
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：159引用：1難度：0.5
相似題
-
1．如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為（a+2）的小正方形（a＞2），將剩余部分剪開(kāi)密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（ ?。?/h2>發(fā)布：2025/6/24 0:0:1組卷：7414引用：77難度：0.7 -
2．乘法公式的探究及應(yīng)用．
（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；
（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)矩形，它的寬是，長(zhǎng)是，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；
（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式（用式子表達(dá)）．
發(fā)布：2025/6/24 11:30:1組卷：748引用：18難度：0.7 -
3．如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式 ．發(fā)布：2025/6/24 1:0:1組卷：1937引用：58難度：0.7