2021-2022學年北京市朝陽區(qū)朝陽外國語學校高二（上）開學數(shù)學試卷（9月份）

一、選擇題（共8小題，每小題4分，共32分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）

• 1．已知a為實數(shù)，若復數(shù)z=（a²-1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則復數(shù)z的虛部為（　　）

  A．1

  B．2i

  C．2

  D．±1
  組卷：115引用：3難度：0.7

  解析

• 2．給出下列命題：
  ①三個非零向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  不能構(gòu)成空間的一個基底，則

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面．
  ②若兩個非零向量

  a

  ，

  b

  與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則

  a

  ，

  b

  共線．
  ③若

  a

  ，

  b

  是兩個不共線的向量，

  c

  =

  λ

  a

  +

  μ

  b

  （λ，μ∈R，且λμ≠0），則{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }構(gòu)成空間的一個基底．
  其中真命題的個數(shù)是（　?。?/h2>

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：67引用：8難度：0.7

  解析

• 3．珠算被譽為中國的第五大發(fā)明，最早見于漢朝徐岳撰寫的《數(shù)術(shù)記遺》?2013年聯(lián)合國教科文組織正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖，我國傳統(tǒng)算盤每一檔為兩粒上珠，五粒下珠，也稱為“七珠算盤”．未記數(shù)（或表示零）時，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數(shù)時，要撥珠靠梁，一個上珠表示“5”，一個下珠表示“1”，例如：當千位檔一個上珠、百位檔一個上珠、十位檔一個下珠、個位檔一個上珠分別靠梁時，所表示的數(shù)是5515．現(xiàn)選定“個位檔”、“十位檔”、“百位檔”和“千位檔”，若規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機取一個數(shù)，這個數(shù)能被3整除的概率為（　　）

  A． 1 2

  B． 2 5

  C． 3 8

  D． 1 3
  組卷：96引用：2難度：0.8

  解析

• 4．已知兩個平面相互垂直，下列命題：
  ①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；
  ②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；
  ③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；
  ④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．
  其中正確命題個數(shù)是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：482引用：19難度：0.5

  解析

• 5．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=2：3：4且a+b=10，則向量

  AB

  在向量

  AC

  上的投影的數(shù)量是（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  組卷：5引用：1難度：0.8

  解析

三、解答題（共3小題，共52分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）

• 14．在△ABC中，b²+c²-a²=

  4

  2

  3

  bc.
  （Ⅰ）求tanA的值；
  （Ⅱ）若3csinA=

  2

  asinB，且△ABC的面積S=2

  2

  ，求c的值．
  組卷：499引用：4難度：0.6

  解析

• 15．已知四棱錐P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面為直角梯形，
  ∠CDA=∠BAD=90°，

  AB

  =

  2

  ，

  CD

  =

  1

  ，

  AD

  =

  2

  ，M，N分別是PD，PB的中點．
  （1）求證：MQ∥平面PCB；
  （2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大?。?br />（3）求點A到平面MCN的距離．
  組卷：90引用：11難度：0.5

  解析