2009年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試卷

一、解答題（共6小題，滿分0分）

• 1．給定銳角三角形PBC，PB≠PC．設(shè)A，D分別是邊PB，PC上的點(diǎn)，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O．過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，線段BC，AD的中點(diǎn)分別為M，N．
  （1）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求證：EM?FN=EN?FM；
  （2）若EM?FN=EN?FM，是否一定有A，B，C，D四點(diǎn)共圓？證明你的結(jié)論．
  組卷：190引用：1難度：0.7

  解析

• 2．求所有的素?cái)?shù)對(duì)（p,q），使得pq|5^p+5^q．
  組卷：42引用：1難度：0.7

  解析

一、解答題（共6小題，滿分0分）

• 5．凸n邊形P中的每條邊和每條對(duì)角線都被染為n種顏色中的一種顏色．問(wèn)：對(duì)怎樣的n,存在一種染色方式，使得對(duì)于這n種顏色中的任何3種不同顏色，都能找到一個(gè)三角形，其頂點(diǎn)為多邊形P的頂點(diǎn)，且它的3條邊分別被染為這3種顏色？
  組卷：158引用：1難度：0.1

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• 6．給定整數(shù)n≥3，證明：存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)

  ∑

  x

  ∈

  A

  x

  |

  A

  |

  與

  ∑

  x

  ∈

  B

  x

  |

  B

  |

  是互素的合數(shù)．（這里

  ∑

  x

  ∈

  X

  x

  與|X|分別表示有限數(shù)集X的所有元素之和及元素個(gè)數(shù)．）
  組卷：52引用：1難度：0.1

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