《第2章 數(shù)列》2010年單元測(cè)試卷（9）

一、填空題（共1小題，每小題5分，滿分5分）

• 1．某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當(dāng)k≥2時(shí)，

  x k = x k - 1 + 1 - 5 [ T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ） ]

  y k = y k - 1 + T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ）

  T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為

  ；第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為

  ．
  組卷：545引用：6難度：0.5

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二、解答題（共14小題，滿分0分）

• 2．將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且滿足

  2

  b

  n

  b

  n

  S

  n

  -

  S

  2

  n

  =

  1

  （

  n

  ≥

  2

  ）

  ．
  （Ⅰ）證明數(shù)列

  {

  1

  S

  n

  }

  成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
  （Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)

  a

  81

  =

  -

  4

  91

  時(shí)，求上表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和．
  組卷：375引用：17難度：0.5

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• 3．在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．
  （1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測(cè){a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
  （2）證明：

  1

  a

  1

  +

  b

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  b

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  +

  b

  n

  ＜

  5

  12

  ．
  組卷：838引用：14難度：0.1

  解析

• 4．（1）設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項(xiàng)均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列．
  （i）當(dāng)n=4時(shí)，求

  a

  1

  d

  的數(shù)值；
  （ii）求n的所有可能值．
  （2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列．
  組卷：470引用：4難度：0.5

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• 5．公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額．
  （Ⅰ）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系；
  （Ⅱ）求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個(gè)等比數(shù)列，{B_n}是一個(gè)等差數(shù)列．
  組卷：346引用：6難度：0.5

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二、解答題（共14小題，滿分0分）

• 14．如圖，在△ABC中，D、E、P、Q、M、N分別是各邊的三等分點(diǎn)，現(xiàn)做投針試驗(yàn)，則射中陰影部分的概率是

  ．
  組卷：4引用：3難度：0.5

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• 15．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₆-S₁₂成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積為T_n，則T₄，

  ，

  ，

  T

  16

  T

  12

  成等比數(shù)列．
  組卷：467引用：42難度：0.7

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