2023年北京市中國人民大學附中高考數(shù)學三模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

• 1．若復數(shù)z=a²-1+（a+1）i是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．±1

  D．0
  組卷：225引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|1＜3^x≤9}，B={x|

  x

  +

  2

  x

  -

  2

  ≤0}，則A∩B=（　　）

  A．（1，2）

  B．（0，1）

  C．（0，2）

  D．[-2，2）
  組卷：257引用：5難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，2），

  b

  =（3，x），

  a

  與

  b

  共線，則

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　?。?/h2>

  A．6

  B．20

  C． 2 5

  D．5
  組卷：405引用：3難度：0.8

  解析

• 4．已知函數(shù)f（x）=x,g（x）=2^x+2^-x，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（　?。?/h2>

  A．f（x）+g（x）

  B．f（x）-g（x）

  C．f（x）g（x）

  D． f （ x ） g （ x ）
  組卷：299引用：5難度：0.7

  解析

• 5．某區(qū)為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該區(qū)有40萬居民，估計居民中月均用水量在[2.5，3）的人數(shù)為（　?。?/h2>

  A．4.8萬

  B．6萬

  C．6.8萬

  D．12萬
  組卷：269引用：3難度：0.7

  解析

• 6．二維碼與生活息息相關，我們使用的二維碼主要是21×21大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進制編碼，一共有2⁴⁴¹種不同的碼，假設我們1秒鐘用掉1萬個二維碼，1萬年約為3×10¹¹秒，那么大約可以用（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.5）（　　）

  A．10117萬年

  B．117萬年

  C．10205萬年

  D．205萬年
  組卷：793引用：8難度：0.7

  解析

• 7．若兩條直線l₁：y=2x+m,l₂：y=2x+n與圓x²+y²-4x=0的四個交點能構成正方形，則|m-n|=（　　）

  A． 4 5

  B． 2 10

  C． 2 2

  D．4
  組卷：341引用：4難度：0.5

  解析

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

• 20．設函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  px

  -

  p

  x

  -

  2

  lnx

  ，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
  （1）當

  p

  =

  3

  2

  時，求函數(shù)f（x）的極值；
  （2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
  （3）設

  g

  （

  x

  ）

  =

  2

  e

  x

  ，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．
  組卷：253引用：4難度：0.4

  解析

• 21．有窮數(shù)列{a_n}共m項（m≥3）．其各項均為整數(shù)，任意兩項均不相等．b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，?，m-1），b_i≤b_i+1（i=1，2，?，m-2）．
  （Ⅰ）若{a_n}：0，1，a₃.求a₃的取值范圍；
  （Ⅱ）若m=5，當

  5

  ∑

  i

  =

  1

  |

  a

  i

  |

  取最小值時，求

  4

  ∑

  i

  =

  1

  b

  i

  的最大值；
  （Ⅲ）若1≤a_i≤m（i=1，2，?，m），

  m

  -

  1

  ∑

  k

  =

  1

  b

  k

  =

  m

  +

  1

  ，求m的所有可能取值．
  組卷：450引用：3難度：0.1

  解析