人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（22）

一、解答題（共30小題）

• 1．在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點稱為“夢之點”，例如點（-1，-1），（0，0），（

  2

  ，

  2

  ），…都是“夢之點”，顯然，這樣的“夢之點”有無數(shù)個．
  （1）若點P（2，m）是反比例函數(shù)y=

  n

  x

  （n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；
  （2）函數(shù)y=3kx+s-1（k,s是常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
  （3）若二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a,b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+

  157

  48

  ，試求出t的取值范圍．
  組卷：2583引用：50難度：0.3

  解析

• 2．如圖，已知拋物線y=-x²+2x+c經(jīng)過點C（0，3），且與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），線段BC與拋物線的對稱軸相交于點P．M、N分別是線段OC和x軸上的動點，運動時保持∠MPN=90°不變．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）①試猜想PN與PM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
  ②在①的前提下，連接MN，設(shè)OM=m.△MPN的面積為S，求S的最大值．
  組卷：388引用：50難度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A的左側(cè)），與y軸交于點C．過動點H（0，m）作平行于x軸的直線l,直線l與二次函數(shù)y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的圖象相交于點D，E．
  （1）寫出點A，點B的坐標(biāo)；
  （2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與x軸相切時，求m的值；
  （3）直線l上是否存在一點F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：2575引用：51難度：0.1

  解析

• 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y=-x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點B，且點B的橫坐標(biāo)為1．
  
  （1）求a,b的值；
  （2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設(shè)PF的長為t,MN的長為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)S_△ACN=S_△PMN時，連接ON，點Q在線段BP上，過點Q作QR∥MN交ON于點R，連接MQ、BR，當(dāng)∠MQR-∠BRN=45°時，求點R的坐標(biāo)．
  組卷：2099引用：56難度：0.5

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• 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點D、點E同時從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度分別沿x軸正半軸，y軸正半軸向點A、點B方向移動，當(dāng)點D運動到點A時，點D、E同時停止移動．過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，交AB于點G，作點E關(guān)于直線DF的對稱點E′，連接FE′，射線DE′交AB于點H．設(shè)運動時間為t秒．
  ①t為何值時點E′恰好在拋物線上，并求此時△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
  ②點P是平面內(nèi)任意一點，若點D在運動過程中的某一時刻，形成以點A、E′、D、P為頂點的四邊形是菱形，那么請直接寫出點P的坐標(biāo)．
  組卷：1035引用：51難度：0.5

  解析

• 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2x與x軸正半軸交于點A，頂點為B．
  （1）求點B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （2）已知點C（0，-2），直線AC與BO相交于點D，與該拋物線對稱軸交于點E，且△OCD≌△BED，求m的值；
  （3）在由（2）確定的拋物線上有一點N（n,-

  5

  3

  ），N在對稱軸的左側(cè)，點F，G在對稱軸上，F(xiàn)在G上方，且FG=1，當(dāng)四邊形ONGF的周長最小時：
  ①求點F的坐標(biāo)；
  ②設(shè)點P在拋物線上，在y軸上是否存在點H，使以N，F(xiàn)，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1649引用：51難度：0.5

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• 7．二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，

  1

  4

  ）；點F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交于點H．
  （1）求二次函數(shù)的解析式；
  （2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M，求證：FM平分∠OFP；
  （3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo)．
  組卷：3674引用：73難度：0.1

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• 8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點，與x軸相交于點E（8，0），拋物線的頂點A在第四象限，點A到x軸的距離AB=4，點P（m,0）是線段OE上一動點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點C作y軸的平行線交x軸于點G，交拋物線于點D，連接BC和AD．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）求點C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （3）當(dāng)以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)．
  組卷：1334引用：54難度：0.1

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• 9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M為拋物線y=-x²+2nx-n²+2n的頂點，過點（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點P、Q（點P在Q的左側(cè)），PQ=4．
  （1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出點P的坐標(biāo)；
  （2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線y=-x²+2nx-n²+2n繞著點P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點恰為坐標(biāo)原點O，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由；
  （3）如圖2，已知點A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點P、A、B、C按順時針的方向排列），

  PA

  AB

  =

  1

  t

  ．
  ①寫出C點的坐標(biāo)：C（

   

  ，

   

  ）（坐標(biāo)用含有t的代數(shù)式表示）；
  ②若點C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．
  
  組卷：1149引用：52難度：0.1

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• 10．如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a,0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；
  （3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．
  
  組卷：3466引用：61難度：0.1

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖（1），拋物線y=-

  1

  4

  x²+x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標(biāo)為（-2，0）．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）①若點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，如圖（2），試求當(dāng)CD與⊙M相切時D點的坐標(biāo)；
  ②點F是x軸上的動點，在拋物線上是否存在一點G，使A、C、G、F四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：852引用：52難度：0.1

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• 30．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
  （1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo)；
  （2）直線CD交x軸于點E，過拋物線上在對稱軸的右邊的點P，作y軸的平行線交x軸于點F，交直線CD于M，使PM=

  1

  5

  EF，請求出點P的坐標(biāo)；
  （3）將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．
  組卷：1093引用：53難度：0.1

  解析