2023-2024學(xué)年廣東省廣州市三校（鐵一、廣外、廣大）高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x∈N|-1＜x≤3}，則A∩B=（　　）

  A．（-1，3）

  B．（-1，2）

  C．{1，2}

  D．{0，1，2}
  組卷：35引用：2難度：0.8

  解析

• 2．設(shè)z=

  1

  1

  +

  i

  +i,則|z|=（　?。?/h2>

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D．2
  組卷：2339引用：59難度：0.9

  解析

• 3．設(shè)某批電子手表正品率為

  3

  4

  ，次品率為

  1

  4

  ，現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P（X=3）等于（　　）

  A． C 2 3 （ 1 4 ） 2 × （ 3 4 ）	B． C 2 3 （ 3 4 ） 2 × （ 1 4 ）
  C． （ 1 4 ） 2 × （ 3 4 ）	D． （ 3 4 ） 2 × （ 1 4 ）
  組卷：368引用：22難度：0.9

  解析

• 4．設(shè)

  a

  ，

  b

  為單位向量，

  a

  在

  b

  方向上的投影向量為-

  1

  2

  b

  ，則|

  a

  -2

  b

  |=（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5

  D． 7
  組卷：869引用：18難度：0.7

  解析

• 5．設(shè)

  a

  =

  （

  1

  3

  ）

  -

  0

  .

  6

  ，

  b

  =

  tan

  （

  -

  130

  °

  ）

  ，

  c

  =

  lo

  g

  1

  .

  3

  0

  .

  4

  ，則a,b,c的大小關(guān)系為（　?。?/h2>

  A．b＜a＜c

  B．a(chǎn)＜c＜b

  C．c＜b＜a

  D．a(chǎn)＜b＜c
  組卷：131引用：5難度：0.7

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• 6．公元9世紀(jì)，阿拉伯計(jì)算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用csc（角）表示，則

  3

  csc

  20

  °

  -

  sec

  20

  °

  =（　　）

  A． 3

  B． 2 3

  C．4

  D．8
  組卷：64引用：6難度：0.7

  解析

• 7．雙曲線E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的一條漸近線與圓C：（x-3）²+y²=4相交于A，B，若△ABC的面積為2，則雙曲線E的離心率為（　?。?/h2>

  A． 3 5 5

  B． 7 5 5

  C． 3 7 7

  D． 11 7 7
  組卷：93引用：4難度：0.6

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

• 21．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  lnx

  +

  1

  x

  -

  mx

  ,

  （

  m

  ∈

  R

  ）

  ．
  （1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
  （2）若b＞a＞0，證明：

  lnb

  -

  lna

  b

  -

  a

  ＜

  a

  2

  +

  b

  2

  a

  2

  b

  +

  a

  b

  2
  組卷：186引用：4難度：0.2

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• 22．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F（c,0）（c＞0）的距離和M到定直線l：

  x

  =

  4

  c

  的距離的比是

  c

  2

  ．
  （1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；
  （2）當(dāng)

  c

  =

  2

  時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Ω，動(dòng)直線m與拋物線Γ：y²=4x相切，且與曲線Ω交于點(diǎn)A，B．求△AOB面積的最大值．
  組卷：100引用：4難度：0.5

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