2022-2023學(xué)年福建省福州市鼓樓十五中、格致中學(xué)鼓山分校、銅盤中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．復(fù)數(shù)z=

  i

  1

  -

  i

  （i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　?。?/h2>

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：99引用：12難度：0.9

  解析

• 2．已知向量

  m

  =（2a,-1），

  n

  =（3，a+2），若

  m

  ⊥

  n

  ，則a=（　　）

  A．1

  B． 3 5

  C． 1 3

  D． 2 5
  組卷：221引用：5難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)向量

  a

  =

  （

  m

  ,

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  m

  +

  1

  ）

  ，且

  a

  與

  b

  的方向相反，則實數(shù)m的值為（　?。?/h2>

  A．-2或1

  B．-1

  C．-2

  D．-1或1
  組卷：127引用：3難度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，若AD為BC邊上的中線，點E在AD上，且AE=2ED，則

  EB

  =（　?。?/h2>

  A． 2 3 AB - 1 3 AC

  B． 2 3 AC - 1 3 AB

  C． 7 6 AB - 5 6 AC

  D． 7 6 AC - 5 6 AB
  組卷：267引用：13難度：0.8

  解析

• 5．設(shè)向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  cosθ

  ）

  ，

  b

  =

  （

  sin

  2

  θ

  ，-

  cosθ

  ）

  ，則“

  a

  ⊥

  b

  ”是“

  tanθ

  =

  1

  2

  ”的（　?。l件．

  A．充分不必要	B．必要不充分
  C．充要	D．既不充分也不必要
  組卷：46引用：5難度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足|

  a

  |=5，|

  b

  |=6，

  a

  ?

  b

  =-6，則cos＜

  a

  ，

  a

  +

  b

  ＞=（　?。?/h2>

  A．- 31 35

  B．- 19 35

  C． 17 35

  D． 19 35
  組卷：7619引用：37難度：0.6

  解析

• 7．已知Rt△ABC，兩直角邊AB=1，AC=2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB=60°，設(shè)

  AD

  =

  λ

  AB

  +

  μ

  AC

  （λ，μ∈R），則

  λ

  μ

  =（　　）

  A． 2 3 3

  B． 3 3

  C．3

  D． 2 3
  組卷：237引用：6難度：0.7

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，在梯形ABCD，AB∥CD，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，AB=AD=2，CD=3，

  AE

  =

  λ

  AB

  ．
  （1）若

  AC

  ⊥

  DE

  ，求λ的值；
  （2）若

  λ

  =

  1

  2

  ，求

  AC

  與

  DE

  的夾角的正切值．
  組卷：105引用：3難度：0.7

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• 22．《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊四邊形ABCD的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將BD連接，經(jīng)測量AB=BC=CD=2，AD=2

  2

  ．
  （1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論BD多長，

  2

  cosA-cosC為一個定值，請你驗證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；
  （2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長與土地面積的平方呈正相關(guān)，記△ABD與△BCD的面積分別為S₁和S₂，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．
  組卷：23引用：4難度：0.6

  解析