2023-2024學(xué)年北京四中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）

• 1．已知集合A={x|-5＜x≤1}，B={x|x²≤9}，則A∪B=（　　）

  A．[-3，1）

  B．[-3，1]

  C．（-5，3]

  D．[-3，3]
  組卷：653引用：6難度：0.8

  解析

• 2．若復(fù)數(shù)z=（3-i）（1+i），則|z|=（　?。?/h2>

  A． 2 2

  B． 2 5

  C． 10

  D． 2 10
  組卷：57引用：3難度：0.8

  解析

• 3．化簡(jiǎn)

  sin

  （

  5

  π

  2

  +

  α

  ）

  cos

  （

  π

  -

  α

  ）

  =（　　）

  A．tanα

  B．-tanα

  C．1

  D．-1
  組卷：650引用：1難度：0.8

  解析

• 4．下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，+∞）的是（　　）

  A． y = 1 sinx

  B． y = x + 1

  C．y=lg（|x|+1）

  D．y=2x+1
  組卷：93引用：3難度：0.8

  解析

• 5．函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)

  （

  π

  3

  ，

  3

  2

  ）

  ，則φ的最小值為（　?。?/h2>

  A． π 12

  B． π 6

  C． π 3

  D． 5 π 6
  組卷：162引用：1難度：0.8

  解析

• 6．若a＞1，則

  4

  a

  +

  1

  a

  -

  1

  的最小值為（　?。?/h2>

  A．4

  B．6

  C．8

  D．無最小值
  組卷：268引用：7難度：0.7

  解析

• 7．已知函數(shù)f（x）=

  5

  x

  -

  lo

  g

  3

  x,在下列區(qū)間中，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間是（　?。?/h2>

  A．（2，3）

  B．（3，4）

  C．（4，5）

  D．（5，6）
  組卷：292引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題：（本大題共6小題，共85分）

• 20．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  lnx

  x

  +

  a

  （

  x

  2

  -

  1

  ）

  ．
  （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
  （Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
  （Ⅲ）若f（x）在（1，e）上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．
  組卷：335引用：7難度：0.2

  解析

• 21．已知集合S={a₁，a₂，…，a_n}（n≥3），集合T?{（x,y）|x∈S，y∈S，x≠y}，且滿足?a_i，a_j∈S（i,j=1，2，…，n,i≠j），（a_i，a_j）∈T與（a_j，a_i）∈T恰有一個(gè)成立．對(duì)于T定義

  d

  T

  （

  a

  ,

  b

  ）

  =

  1 ， （ a , b ） ∈ T

  0 ， （ b , a ） ∈ T

  ，以及

  l

  T

  （

  a

  i

  ）

  =

  n

  ∑

  j

  =

  1

  ，

  j

  ≠

  i

  d

  T

  （

  a

  i

  ，

  a

  j

  ）

  ，其中i=1，2，…，n.
  例如l_T（a₂）=d_T（a₂，a₁）+d_T（a₂，a₃）+d_T（a₂，a₄）+…+d_T（a₂，a_n）．
  （Ⅰ）若n=4，（a₁，a₂），（a₃，a₂），（a₂，a₄）∈T，求l_T（a₂）的值及l(fā)_T（a₄）的最大值；
  （Ⅱ）從l_T（a₁），…，l_T（a_n）中任意刪去兩個(gè)數(shù)，記剩下的數(shù)的和為M，求M的最小值（用n表示）；
  （Ⅲ）對(duì)于滿足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，…，n）的每一個(gè)集合T，集合S中是否都存在三個(gè)不同的元素e,f,g,使得d_T（e,f）+d_T（f,g）+d_T（g,e）=3恒成立？請(qǐng)說明理由．
  組卷：63引用：1難度：0.5

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