2022-2023學年湖南省長沙市長郡中學高二（上）入學數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=（x²-4）+（x+2）i是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（　?。?/h2>

  A．2

  B．-2

  C．±2

  D．4
  組卷：230引用：11難度：0.7

  解析

• 2．若a＞b＞0，則下列不等式成立的是（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＞b＞ a + b 2 ＞ ab	B．a(chǎn)＞ a + b 2 ＞ ab ＞b
  C．a(chǎn)＞ a + b 2 ＞b＞ ab	D．a(chǎn)＞ a + b 2 ≥ ab ＞b
  組卷：170引用：5難度：0.9

  解析

• 3．平面四邊形ABCD中

  AB

  +

  CD

  =

  0

  ，

  （

  AB

  -

  AD

  ）

  ?

  AC

  =

  0

  ，則四邊形ABCD是（　?。?/h2>

  A．矩形

  B．菱形

  C．正方形

  D．梯形
  組卷：165引用：18難度：0.9

  解析

• 4．《九章算術》是中國古代人民智慧的結晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側面積（單位：平方丈）為（　?。?/h2>

  A． 5 1 + π 2 4 π

  B． 5 1 + 4 π 2 4 π

  C． 5 1 + π 2 2 π

  D． 5 1 + 4 π 2 2 π
  組卷：287引用：12難度：0.7

  解析

• 5．已知a,b是兩條不重合直線，α，β是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（　　）

  A．若a∥b,b∥α，則a∥α	B．若α⊥β，a∥α，則a⊥β
  C．若α⊥β，a?α，a⊥β，則a∥α	D．若b⊥α，a∥b,β⊥α，則a∥β
  組卷：110引用：4難度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,若a-c=bcosC-bcosA，則△ABC的形狀為（　?。?/h2>

  A．等腰三角形

  B．直角三角形

  C．等腰三角形或直角三角形

  D．等腰直角三角形
  組卷：435引用：8難度：0.6

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• 7．設f（x）=

  （ x - a ） 2 ， x ≤ 0

  x + 1 x + a , x ＞ 0

  ，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．[-1，2]

  B．[-1，0]

  C．[1，2]

  D．[0，2]
  組卷：746引用：13難度：0.7

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四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）

• 21．向量

  a

  =（2，2），向量

  b

  與向量

  a

  的夾角為

  3

  π

  4

  ，且

  a

  ?

  b

  =-2，
  （1）求向量

  b

  ；
  （2）若

  t

  =（1，0），且

  b

  ⊥

  t

  ，

  c

  =（cosA，

  2

  co

  s

  2

  C

  2

  ），其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，且

  B

  =

  π

  3

  ，試求|

  b

  +

  c

  |的取值范圍．
  組卷：78引用：2難度：0.6

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• 22．如圖①所示，長方形ABCD中，AD=1，AB=2，點M是邊CD的中點，將△ADM沿AM翻折到△PAM，連結PB，PC，得到圖②的四棱錐P-ABCM．
  
  （1）求四棱錐P-ABCM的體積的最大值；
  （2）若棱PB的中點為N，求CN的長；
  （3）設P-AM-D的大小為θ，若

  θ

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ]

  ，求平面PAM和平面PBC夾角余弦值的最小值．
  組卷：678引用：18難度：0.3

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