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2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)長郡湘府中學高二（上）入學數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、單選題（40分）

1．已知a∈R，（1+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），則a=（　?。?/h2>
A．-1 B．1 C．-3 D．3
組卷：2585引用：19難度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
3
，-
2
）
，
b
=
（
x
，
1
）
（x＞0），若
（
a
+
2
b
）
⊥
（
a
-
b
）
，則
|
b
|
=（　?。?/h2>
A．
5
B．
10
C．
17
D．
13
2
組卷：115引用：2難度：0.7
解析
3．如圖所示，在四面體O-ABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且
OM
=2
MA
，N為BC的中點，則
MN
=（　?。?/h2>
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
2
c
B．-
2
3
a
+
1
2
b
+
1
2
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
2
3
c
D．
2
3
a
+
2
3
b
-
1
2
c
組卷：1249引用：41難度：0.9
解析
4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且B=
π
3
，b=3，a=
3
，則c=（　　）
A．
3
B．2
3
C．3
-
3
D．3
組卷：490引用：7難度：0.7
解析
5．在△ABC中，若點D滿足
BD
=
3
DC
，點E為AC的中點，則
ED
=（　?。?/h2>
A．
5
6
AC
+
1
3
AB
B．
1
4
AB
+
1
4
AC
C．
3
4
AC
-
1
4
AB
D．
5
6
AC
-
1
3
AB
組卷：592引用：6難度：0.8
解析
6．2020年12月31日，國務院聯(lián)防聯(lián)控機制發(fā)布，國藥集團中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準附條件上市，其保護效力達到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關標準要求，現(xiàn)已對18至59歲的人提供．根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計該地接種年齡的中位數(shù)為（　?。?/h2>
A．40 B．39 C．38 D．37
組卷：605引用：6難度：0.8
解析

7．給出如下四個命題，正確的有（　?。?/h2>

A．平行于同一個平面的兩條直線是平行直線

B．垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面

C．若平面α內(nèi)有不共線的三個點到平面β的距離都相等，則α∥β

D．若平面α⊥β，α∩β=l,過平面α內(nèi)的任意一點作交線l的垂線，則此垂線垂直于平面β

組卷：14引用：2難度：0.6

解析

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四、解答題（70分）

21．某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是
3
4
，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是
1
12
，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是
1
4
．若各家庭回答是否正確互不影響．
（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率．
組卷：851引用：14難度：0.7
解析
22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=
15
，M，N分別為BC，PC的中點，PD⊥DC，PM⊥MD．
（Ⅰ）證明：AB⊥PM；
（Ⅱ）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值．
組卷：6543引用：22難度：0.4
解析

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A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B．- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c

2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)長郡湘府中學高二（上）入學數(shù)學試卷

一、單選題（40分）

1．已知a∈R，（1+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），則a=（ ?。?/h2>

2．已知向量a=（3，-2），b=（x，1）（x＞0），若（a+2b）⊥（a-b），則|b|=（ ?。?/h2>

3．如圖所示，在四面體O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點，則MN=（ ?。?/h2>

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且B=π3，b=3，a=3，則c=（ ）

5．在△ABC中，若點D滿足BD=3DC，點E為AC的中點，則ED=（ ?。?/h2>

7．給出如下四個命題，正確的有（ ?。?/h2>

四、解答題（70分）

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=15，M，N分別為BC，PC的中點，PD⊥DC，PM⊥MD．（Ⅰ）證明：AB⊥PM；（Ⅱ）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值．

一、單選題（40分）

1．已知a∈R，（1+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），則a=（　?。?/h2>

2．已知向量
a
=
（
3
，-
2
）
，
b
=
（
x
，
1
）
（x＞0），若
（
a
+
2
b
）
⊥
（
a
-
b
）
，則
|
b
|
=（　?。?/h2>

3．如圖所示，在四面體O-ABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且
OM
=2
MA
，N為BC的中點，則
MN
=（　?。?/h2>

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且B=
π
3
，b=3，a=
3
，則c=（　　）

5．在△ABC中，若點D滿足
BD
=
3
DC
，點E為AC的中點，則
ED
=（　?。?/h2>

7．給出如下四個命題，正確的有（　?。?/h2>

四、解答題（70分）

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=
15
，M，N分別為BC，PC的中點，PD⊥DC，PM⊥MD．
（Ⅰ）證明：AB⊥PM；
（Ⅱ）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值．