2022-2023學年福建省福州市永泰一中高二（上）開學數學試卷

一、單選題（共8題，每題5分）

• 1．已知復數

  z

  =

  a

  +

  i

  2

  -

  i

  （

  i

  為虛數單位）在復平面內對應的點在第三象限，則實數a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-2， 1 2 ）

  B．（ - 1 2 ， 2 ）

  C．（-∞，-2）

  D．（ 1 2 ， + ∞ ）
  組卷：280難度：0.9

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  0

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  0

  ，

  2

  ）

  ，且

  k

  a

  +

  b

  與

  2

  a

  -

  b

  互相垂直，則k的值是（　　）

  A．-1

  B． 4 3

  C． 5 3

  D． 7 5
  組卷：123引用：8難度：0.7

  解析

• 3．在△ABC中，點D在BC邊上，BD=2DC．記

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，則

  AC

  =（　　）

  A．- 1 2 a + 3 2 b

  B． 1 2 a + 3 2 b

  C． 1 2 a - 3 2 b

  D．- 1 2 a - 3 2 b
  組卷：285引用：4難度：0.7

  解析

• 4．數據x₁，x₂，x₃，…，x_n的平均數為

  x

  =

  2

  ，方差s²=4，則數據3x₁+1，3x₂+1，3x₃+1，…，3x_n+1的標準差為（　?。?/h2>

  A．6

  B．7

  C．12

  D．36
  組卷：79引用：1難度：0.9

  解析

• 5．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c.若A=45°，b=2

  2

  ，且△ABC的面積是1，則△ABC的外接圓的面積為（　?。?/h2>

  A． 5 π

  B． 5 2 π

  C． 10 2 π

  D．4π
  組卷：121難度：0.7

  解析

• 6．甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為

  1

  3

  ，各局的勝負之間是獨立的，某天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，先贏的兩局者為勝，無平局，若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（　　）

  A． 1 3

  B． 1 9

  C． 2 3

  D． 5 9
  組卷：151引用：4難度：0.7

  解析

• 7．如圖，已知幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，則下列結論錯誤的是（　?。?/h2>

  A．在直線DD1CE∥平面A1BC1上存在點E，使CE∥平面A1BC1

  B．AB1⊥平面A1BC1

  C．異面直線AB1與A1C1所成的角為60°

  D．從正方體的八個頂點中任取四個組成的三棱錐的外接球的體積相等
  組卷：70引用：1難度：0.5

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四、解答題（第17題10分，其他題每題各12分）

• 21．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠DBC=90°，SC=SD=DC，且平面SCD⊥底面ABCD，點E在棱SC上，直線SA∥平面BDE．
  （1）求證：E為棱SC的中點；
  （2）設二面角S-BD-C的大小為θ，且tanθ=

  6

  ．求直線BE與平面ABCD所成的角的正切值．
  組卷：129引用：3難度：0.5

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• 22．定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足對任意的x,y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

  x

  +

  y

  1

  +

  xy

  ），且當x∈（0，1）時，f（x）＜0．
  （1）求證：函數f（x）是奇函數；
  （2）求證：f（x）在（-1，1）上是減函數；
  （3）若f（

  1

  2

  ）=-1，f（x）≤t²-2at-1對任意x∈[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．
  組卷：200難度：0.3

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