2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．直線3x-2y-3=0的一個(gè)方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  組卷：55引用：1難度：0.8

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• 2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為上底面A₁C₁的中心，若

  AO

  =

  A

  A

  1

  +

  x

  AB

  +

  y

  AD

  ，則實(shí)數(shù)x,y的值分別為（　?。?/h2>

  A．x=1，y=1

  B． x = 1 2 ， y = 1 2

  C． x = 1 2 ， y = 1

  D． x = 1 ， y = 1 2
  組卷：43引用：1難度：0.8

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• 3．“a=-2”是“直線ax+3y-1=0與直線6x+4y-3=0垂直”成立的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：117引用：4難度：0.9

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• 4．如圖，一座圓拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬12米，則當(dāng)水面下降1米后，水面寬為（　　）

  A． 19 米

  B． 51 米

  C． 2 19 米

  D． 2 51 米
  組卷：43引用：2難度：0.7

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• 5．若過(guò)點(diǎn)（1，2）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線x-y-5=0的距離為（　　）

  A． 5 2 2

  B． 3 2 2

  C． 2

  D． 2 2
  組卷：46引用：1難度：0.7

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• 6．已知直線l：x+ycosθ-3=0，則l的傾斜角α的取值范圍是（　　）

  A．[0，π）	B． [ π 4 ， π 2 ]
  C． [ π 4 ， 3 π 4 ]	D． [ π 4 ， π 2 ） ∪ （ π 2 ， 3 π 4 ]
  組卷：56引用：1難度：0.8

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• 7．已知直線3x+2y-6=0分別與x,y軸交于A，B兩點(diǎn)，若直線x+y-1=0上存在一點(diǎn)C，使|CA|+|CB|最小，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　　）

  A． （ 2 3 ， 1 3 ）

  B． （ 6 5 ，- 1 5 ）

  C． （ 4 3 ，- 1 3 ）

  D． （ 4 5 ， 1 5 ）
  組卷：90引用：2難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)E與兩定點(diǎn)

  A

  （

  4

  5

  ，

  4

  5

  ）

  ，B（5，5）的距離之比為

  2

  5

  ．
  （1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；
  （2）過(guò)點(diǎn)P（2，2）作兩條直線分別與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，若直線PM與PN的斜率之積為1，試問(wèn)線段MN的中點(diǎn)是否在定直線上，若在定直線上，請(qǐng)求出直線的方程；若不在定直線上，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：65引用：1難度：0.6

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• 22．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P，P₁分別為底面ABCD，A₁B₁C₁D₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，E為P₁B的中點(diǎn)．
  
  （1）如圖1，若P₁為D₁C₁的中點(diǎn)，求平面ADE與平面ABP₁D₁的夾角的余弦值；
  （2）如圖2，若PP₁⊥平面ABCD，P₁A=P₁B，求證：PE∥平面P₁AD．
  組卷：17引用：1難度：0.5

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