2015-2016學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟實驗班高二（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．設(shè)f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個增函數(shù)；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（　?。?/h2>

  A．①和②均為真命題	B．①和②均為假命題
  C．①為真命題，②為假命題	D．①為假命題，②為真命題
  組卷：1397引用：10難度：0.5

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• 2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n使得

  a

  m

  a

  n

  =4a₁，則

  1

  m

  +

  4

  n

  的最小值為（　　）

  A． 3 2

  B． 5 3

  C． 9 4

  D． 25 6
  組卷：3002引用：49難度：0.9

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• 3．在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影，由區(qū)域

  x - 2 ≤ 0

  x + y ≥ 0

  x - 3 y + 4 ≥ 0

  中的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|=（　　）

  A．2 2

  B．4

  C．3 2

  D．6
  組卷：2382引用：6難度：0.9

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• 4．已知F為拋物線y²=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，

  OA

  ?

  OB

  =2（其中O為坐標(biāo)原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（　?。?/h2>

  A．2

  B．3

  C． 17 2 8

  D． 10
  組卷：3467引用：48難度：0.7

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• 5．已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f（x）=

  5 4 sin （ π 2 x ） （ 0 ≤ x ≤ 1 ）

  （ 1 4 ） x + 1 （ x ＞ 1 ）

  若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a,b∈R），有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（- 5 2 ，- 9 4 ）	B．（- 9 4 ，-1）
  C．（- 5 2 ，- 9 4 ）∪（- 9 4 ，-1）	D．（- 5 2 ，-1）
  組卷：381引用：13難度：0.7

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• 6．已知函數(shù)f（x）=

  x 2 + （ 4 a - 3 ） x + 3 a , x ＜ 0

  lo g a （ x + 1 ） + 1 ， x ≥ 0

  （a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（0， 2 3 ]

  B．[ 2 3 ， 3 4 ]

  C．[ 1 3 ， 2 3 ]∪{ 3 4 }

  D．[ 1 3 ， 2 3 ）∪{ 3 4 }
  組卷：5329引用：45難度：0.7

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• 7．在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足

  |

  DA

  |

  =

  |

  DB

  |

  =

  |

  DC

  |

  ，

  DA

  ?

  DB

  =

  DB

  ?

  DC

  =

  DC

  ?

  DA

  =-2，動點P，M滿足

  |

  AP

  |

  =1，

  PM

  =

  MC

  ，則|

  BM

  |²的最大值是（　?。?/h2>

  A． 43 4

  B． 49 4

  C． 37 + 6 3 4

  D． 37 + 2 33 4
  組卷：3605引用：15難度：0.5

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三、解答題（本大題共6小題，其中17題10分，18-22題每小題10分．共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂離心率為

  3

  2

  ，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF₁，PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M（m,0），求m的取值范圍；
  （3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明

  1

  k

  k

  1

  +

  1

  k

  k

  2

  為定值，并求出這個定值．
  組卷：2150引用：16難度：0.1

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• 22．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）?2ⁿ⁺²+4對任意的n∈N^*恒成立．
  （Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
  （Ⅱ）是否存在非零整數(shù)λ，使不等式

  λ

  （

  1

  -

  1

  a

  1

  ）

  （

  1

  -

  1

  a

  2

  ）

  …

  （

  1

  -

  1

  a

  n

  ）

  cos

  a

  n

  +

  1

  π

  2

  ＜

  1

  a

  n

  +

  1

  對一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
  （Ⅲ）各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{c_n}，滿足c₃₉=a₁₀₀₇，且存在正整數(shù)k,使c₁，c₃₉，c_k成等比數(shù)列，若數(shù)列{c_n}的公差為d,求d的所有可能取值之和．
  組卷：201引用：2難度：0.1

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