2023-2024學(xué)年江蘇省南京第五高級中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.）

• 1．雙曲線

  x

  2

  4

  -y²=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（　?。?/h2>

  A． 2 5 5

  B．1

  C． 4 5 5

  D．2
  組卷：184引用：8難度：0.9

  解析

• 2．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在其巨著《圓錐曲線論》中提出“在同一平面上給出三點(diǎn)，若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離之比是一個大于零且不等于1的常數(shù)，則該點(diǎn)軌跡是一個圓”．現(xiàn)在，某電信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信號塔來構(gòu)建一個特定的三角形信號覆蓋區(qū)域，以實(shí)現(xiàn)5G商用，已知甲、乙兩地相距4km,丙、甲兩地距離是丙、乙兩地距離的

  3

  倍，則這個三角形信號覆蓋區(qū)域的最大面積（單位：km²）是（　　）

  A． 2 3

  B． 4 3

  C． 3 6

  D． 4 6
  組卷：77引用：3難度：0.5

  解析

• 3．若拋物線x²=12y的焦點(diǎn)與雙曲線

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  5

  =1的一個焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程為（　?。?/h2>

  A．y=± 5 2 x

  B．y=± 5 4 x

  C．y=± 2 5 5 x

  D．y=± 4 5 x
  組卷：153引用：6難度：0.7

  解析

• 4．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F與x軸垂直的直線交C于點(diǎn)M，N，有下列四個命題：
  甲：點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0）；
  乙：拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2；
  丙：線段MN長為4；
  丁：直線y=x+1與拋物線C相切．
  如果只有一個命題是假命題，則該命題是（　?。?/h2>

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  組卷：101引用：4難度：0.7

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• 5．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m,已知行車道總寬度AB=6m,那么車輛通過隧道的限制高度為（　?。?/h2>

  A．2.25m

  B．2.5m

  C．3.25m

  D．3.5m
  組卷：87引用：2難度：0.5

  解析

• 6．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則

  5

  a

  2

  +

  2

  e

  2

  3

  b

  （其中e為橢圓C的離心率）的最小值為（　?。?/h2>

  A． 5 3 3

  B． 5 2 3

  C． 5

  D． 2 5 3
  組卷：384引用：2難度：0.5

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• 7．油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該拿傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽光與地面夾角為60°時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e,則e²=（　　）
  

  A． 1 9

  B．7-2 3

  C．3-2 2

  D．3 3 -5
  組卷：278引用：17難度：0.6

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四、解答題（共6小題，17題10分，18-22題各12分，共70分。）

• 21．給定橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是

  a

  2

  +

  b

  2

  的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為

  3

  ．
  （1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
  （2）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求

  AB

  ?

  AD

  的取值范圍．
  組卷：80引用：5難度：0.5

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• 22．已知兩圓

  C

  1

  ：

  （

  x

  -

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  18

  ，

  C

  2

  ：

  （

  x

  +

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  2

  ，動圓M在圓C₁內(nèi)部且和圓C₁內(nèi)切，和圓C₂外切．
  （1）求動圓圓心M的軌跡方程C；
  （2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡方程C恒有兩個交點(diǎn)M、N，且滿足OM⊥ON？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由．
  組卷：106引用：4難度：0.4

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