2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．設(shè)集合A={x|x²+x-2＜0，x∈R}，B={x||x-1|＜1}，則A∪B=（　　）

  A．{x|-1＜x＜2}

  B．{x|0＜x＜1}

  C．{x|-2＜x＜2}

  D．{x|0＜x＜2}
  組卷：61引用：3難度：0.7

  解析

• 2．“m=-2”是“直線l₁：mx+4y+2=0與直線l₂：x+my+1=0平行”的（　?。?/h2>

  A．充要條件	B．必要不充分條件
  C．充分不必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：299引用：4難度：0.7

  解析

• 3．空氣質(zhì)量指數(shù)是評(píng)估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六檔，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下面說(shuō)法中正確的是（　?。?/h2>

  A．這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”

  B．從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好

  C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214

  D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日
  組卷：330引用：11難度：0.8

  解析

• 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x+2y-4=0與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，圓C經(jīng)過(guò)A，B，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（　?。?/h2>

  A．x2+y2+6y-16=0	B．x2+y2-6y-16=0
  C．x2+y2+8y-9=0	D．x2+y2-8y-9=0
  組卷：329引用：5難度：0.6

  解析

• 5．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的焦距為10，點(diǎn)P（2，1）在C的漸近線上，則C的方程為（　　）

  A． x 2 20 - y 2 5 = 1	B． x 2 5 - y 2 20 = 1
  C． x 2 80 - y 2 20 = 1	D． x 2 20 - y 2 80 = 1
  組卷：1876引用：72難度：0.9

  解析

• 6．拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|=4|OF|，△MFO的面積為4

  3

  ，則拋物線方程為（　?。?/h2>

  A．y2=6x

  B．y2=8x

  C．y2=16x

  D． y 2 = 15 2 x
  組卷：541引用：5難度：0.7

  解析

• 7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．給出以下四個(gè)結(jié)論：①f（0）=0；②f（x）可能是偶函數(shù)；③f（x）在[m,n]上一定存在最大值f（n）；④f（x-1）＞0的解集為{x|x＜1}．共中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：63引用：3難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．已知雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)（2，

  3

  3

  ）在雙曲線E上．
  （1）求E的方程；
  （2）過(guò)F₂作兩條相互垂直的直線l₁和l₂，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．
  組卷：220引用：5難度：0.5

  解析

• 22．如圖，設(shè)P是x²+y²=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，M點(diǎn)滿足

  MD

  =

  λ

  PD

  （λ≠0）．
  （1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
  （2）若

  λ

  =

  1

  2

  ，設(shè)點(diǎn)A（2，1），A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線l過(guò)點(diǎn)（1，

  -

  1

  2

  ）且與曲線C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)T，設(shè)直線AM的斜率為k₁，直線BN的斜率為k₂．
  （i）求證：

  k

  1

  k

  2

  為定值；
  （ii）求證：存在兩條定直線l₁、l₂，使得點(diǎn)T到直線l₁、l₂的距離之積為定值．
  組卷：133引用：4難度：0.4

  解析