湘教新版九年級（下）中考題單元試卷：第1章 二次函數（19）

一、填空題（共1小題）

• 1．如圖，已知直線y=-

  3

  4

  x+3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一個動點，其橫坐標為a,過點P且平行于y軸的直線交直線y=-

  3

  4

  x+3于點Q，則當PQ=BQ時，a的值是

  ．
  組卷：3676難度：0.5

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．已知二次函數y=ax²的圖象經過點（2，1）．
  （1）求二次函數y=ax²的解析式；
  （2）一次函數y=mx+4的圖象與二次函數y=ax²的圖象交于點A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）兩點．
  ①當m=

  3

  2

  時（圖①），求證：△AOB為直角三角形；
  ②試判斷當m≠

  3

  2

  時（圖②），△AOB的形狀，并證明；
  （3）根據第（2）問，說出一條你能得到的結論．（不要求證明）
  
  組卷：1526難度：0.5

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• 3．如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線y=a（x-2）²+k經過A、B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P，
  （1）求a,k的值；
  （2）在圖中求一點Q，A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出相應的點Q的坐標；
  （3）拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使△ABM的周長最小？若存在，求△ABM的周長；若不存在，請說明理由；
  （4）拋物線的對稱軸是上是否存在一點N，使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出N點的坐標，若不存在，請說明理由．
  組卷：3019引用：52難度：0.5

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• 4．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題．
  （1）填空：點C的坐標為（

   

  ，

   

  ），點D的坐標為（

   

  ，

   

  ）；
  （2）設點P的坐標為（a,0），當|PD-PC|最大時，求α的值并在圖中標出點P的位置；
  （3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設點C對應點C′的橫坐標為t（其中0＜t＜6），在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？
  
  組卷：1921引用：54難度：0.5

  解析

• 5．如圖，拋物線y=ax²+bx-

  5

  3

  經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；
  （3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：1582引用：53難度：0.5

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• 6．如圖，已知圖①中拋物線y=ax²+bx+c經過點D（-1，0），C（0，-1），E（1，0）．
  
  （1）求圖①中拋物線的函數表達式．
  （2）將圖①中的拋物線向上平移一個單位，得到圖②中的拋物線，點D與點D₁是平移前后的對應點，求該拋物線的函數表達式．
  （3）將圖②中的拋物線繞原點O順時針旋轉90°后得到圖③中的拋物線，所得到拋物線表達式為y²=2px,點D₁與D₂是旋轉前后的對應點，求圖③中拋物線的函數表達式．
  （4）將圖③中的拋物線繞原點O順時針旋轉90°后與直線y=-x-1相交于A、B兩點，D₂與D₃是旋轉前后如圖④，求線段AB的長．
  組卷：865難度：0.5

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• 7．邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點P從點C出發(fā)，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點P作PF⊥CD于點F，當t為何值時，以點P，F，D為頂點的三角形與△COD相似？
  （3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：4437引用：61難度：0.5

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• 8．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y=-x²+2x+3經過點A、C、A′三點．
  （1）求A、A′、C三點的坐標；
  （2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；
  （3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標．
  組卷：1337引用：51難度：0.5

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• 9．如圖，已知點O（0，0），A（-5，0），B（2，1），拋物線l：y=-（x-h）²+1（h為常數）與y軸的交點為C．
  （1）l經過點B，求它的解析式，并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標；
  （2）設點C的縱坐標為y_c，求y_c的最大值，此時l上有兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比較y₁與y₂的大小；
  （3）當線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值．
  組卷：3507難度：0.5

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• 10．已知：拋物線l₁：y=-x²+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為直線x=1，拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，-

  5

  2

  ）．
  （1）求拋物線l₂的函數表達式；
  （2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；
  （3）M為拋物線l₂上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l₁于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．
  
  組卷：4076難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中．頂點為（-4，-1）的拋物線交y軸于點A（0，3），交x軸于B，C兩點．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）已知點P是拋物線上位于B，C兩點之間的一個動點，問：當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？并求出此時四邊形ABPC的面積．
  （3）過點B作AB的垂線交拋物線于點D，是否存在以點C為圓心且與線段BD和拋物線的對稱軸l同時相切的圓？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．
  組卷：1402引用：51難度：0.3

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• 30．拋物線y=x²+bx+c經過A（0，2），B（3，2）兩點，若兩動點D、E同時從原點O分別沿著x軸、y軸正方向運動，點E的速度是每秒1個單位長度，點D的速度是每秒2個單位長度．
  （1）求拋物線與x軸的交點坐標；
  （2）若點C為拋物線與x軸的交點，是否存在點D，使A、B、C、D四點圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求點D的坐標；若不存在，說明理由；
  （3）問幾秒鐘時，B、D、E在同一條直線上？
  組卷：1817引用：50難度：0.3

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