人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（19）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），經過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．
  （1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k,b用含a的式子表示）；
  （2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為

  5

  4

  ，求a的值；
  （3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．
  
  組卷：12988引用：62難度：0.5

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• 2．如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點．
  （1）則點A，B，C的坐標分別是A（

   

  ，

   

  ），B（

   

  ，

   

  ），C（

   

  ，

   

  ）；
  （2）設經過A，B兩點的拋物線解析式為y=

  1

  4

  （x-5）²+k,它的頂點為E，求證：直線EA與⊙M相切；
  （3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
  組卷：2344引用：51難度：0.5

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• 3．如圖，拋物線經過A（-2，0），B（-

  1

  2

  ，0），C（0，2）三點．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標；
  （3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：3190引用：56難度：0.3

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• 4．如圖，拋物線y=ax²+bx-

  5

  3

  經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；
  （3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：1582引用：53難度：0.5

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• 5．如圖，已知圖①中拋物線y=ax²+bx+c經過點D（-1，0），C（0，-1），E（1，0）．
  
  （1）求圖①中拋物線的函數(shù)表達式．
  （2）將圖①中的拋物線向上平移一個單位，得到圖②中的拋物線，點D與點D₁是平移前后的對應點，求該拋物線的函數(shù)表達式．
  （3）將圖②中的拋物線繞原點O順時針旋轉90°后得到圖③中的拋物線，所得到拋物線表達式為y²=2px,點D₁與D₂是旋轉前后的對應點，求圖③中拋物線的函數(shù)表達式．
  （4）將圖③中的拋物線繞原點O順時針旋轉90°后與直線y=-x-1相交于A、B兩點，D₂與D₃是旋轉前后如圖④，求線段AB的長．
  組卷：865引用：50難度：0.5

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• 6．邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點P從點C出發(fā)，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點P作PF⊥CD于點F，當t為何值時，以點P，F(xiàn)，D為頂點的三角形與△COD相似？
  （3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：4444引用：61難度：0.5

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• 7．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y=-x²+2x+3經過點A、C、A′三點．
  （1）求A、A′、C三點的坐標；
  （2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；
  （3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標．
  組卷：1337引用：51難度：0.5

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• 8．如圖，已知點O（0，0），A（-5，0），B（2，1），拋物線l：y=-（x-h）²+1（h為常數(shù)）與y軸的交點為C．
  （1）l經過點B，求它的解析式，并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標；
  （2）設點C的縱坐標為y_c，求y_c的最大值，此時l上有兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比較y₁與y₂的大?。?br />（3）當線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值．
  組卷：3528引用：55難度：0.5

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• 9．已知：拋物線l₁：y=-x²+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為直線x=1，拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，-

  5

  2

  ）．
  （1）求拋物線l₂的函數(shù)表達式；
  （2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；
  （3）M為拋物線l₂上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l₁于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．
  
  組卷：4082引用：59難度：0.5

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• 10．已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-1（m是常數(shù)）的頂點為P，直線l：y=x-1．
  （1）求證：點P在直線l上；
  （2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖），求點M的坐標；
  （3）若以拋物線和直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值．
  組卷：3378引用：53難度：0.2

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為2a,2b,點A，D，G在y軸上，坐標原點O為AD的中點，拋物線y=mx²過C，F(xiàn)兩點，連接FD并延長交拋物線于點M．
  （1）若a=1，求m和b的值；
  （2）求

  b

  a

  的值；
  （3）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線的位置關系，并說明理由．
  組卷：1819引用：52難度：0.3

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• 30．如圖，在平面直角坐標系中．頂點為（-4，-1）的拋物線交y軸于點A（0，3），交x軸于B，C兩點．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）已知點P是拋物線上位于B，C兩點之間的一個動點，問：當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？并求出此時四邊形ABPC的面積．
  （3）過點B作AB的垂線交拋物線于點D，是否存在以點C為圓心且與線段BD和拋物線的對稱軸l同時相切的圓？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．
  組卷：1403引用：51難度：0.3

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