2023-2024學(xué)年上海市松江二中高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（一）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）

• 1．“x＜2”是“x²＜4”的

  ．
  組卷：6引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知集合M={x|x（x-5）≤6}，

  N

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  }

  ，則M∩N=

  ．
  組卷：19引用：2難度：0.8

  解析

• 3．若直線l的一個方向向量

  d

  =

  （

  3

  ，

  1

  ）

  ，則直線l的傾斜角是

  ．
  組卷：66引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  b

  ＜

  2

  ）

  的離心率為

  3

  2

  ，則橢圓的短軸長為

  ．
  組卷：144引用：5難度：0.7

  解析

• 5．已知（3+ax）⁵的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32，則a=

  ．
  組卷：101引用：3難度：0.5

  解析

• 6．直線l過點(diǎn)（0，1），且與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（a,3），若f'（a）=1，則實(shí)數(shù)a的值是

  ．
  組卷：83引用：3難度：0.8

  解析

• 7．“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收．”《增廣賢文》是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的．如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）³⁶⁵=1.01³⁶⁵；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1-1%）³⁶⁵=0.99³⁶⁵，一年后“進(jìn)步”的是“退步”的

  1

  .

  01

  365

  0

  .

  99

  365

  =

  （

  1

  .

  01

  0

  .

  99

  ）

  365

  ≈

  1481

  倍．如果每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，那么“進(jìn)步”的是“退步”的1000倍需要經(jīng)過的時間大約是

  天（四舍五入精確）．
  組卷：31引用：2難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

• 20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)A（

  1

  2

  ，0）且與直線

  x

  =

  -

  1

  2

  相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點(diǎn)．
  （1）求曲線K的方程；
  （2）過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點(diǎn)，若l∥OP且直線OP與直線x=1交于Q點(diǎn)．求

  |

  AB

  |

  ?

  |

  AC

  |

  |

  OP

  |

  ?

  |

  OQ

  |

  的值；
  （3）若點(diǎn)D、E在y軸上，△PDE的內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+y²=1，求△PDE面積的最小值．
  組卷：1083引用：4難度：0.1

  解析

• 21．已知函數(shù)f（x）=x?sinx.
  （1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（

  π

  2

  ，f（

  π

  2

  ））處的切線方程；
  （2）當(dāng)x∈（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）時，求證：f（x）≥1-cosx；
  （3）求證：當(dāng)x∈（0，

  π

  2

  ）時，f（x）-

  1

  3

  tanx=0有且僅有2個實(shí)數(shù)根．
  組卷：97引用：4難度：0.2

  解析