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2022-2023學(xué)年上海中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/5/30 8:0:9

一、填空題（每題3分，共36分）

1．已知復(fù)數(shù)z=1-2i（i為虛數(shù)單位），則Rez-Imz=
．
組卷：58引用：3難度：0.8
解析
2．已知點(diǎn)A（2，3），B（6，-3），若點(diǎn)P滿足
AB
=
3
AP
，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
．
組卷：75引用：1難度：0.8
解析
3．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+2i）=3+4i（i為虛數(shù)單位），則|z|=
．
組卷：77引用：3難度：0.9
解析
4．設(shè)非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|，且（2
a
+
b
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角為
．
組卷：123引用：10難度：0.7
解析
5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于點(diǎn)O，則直線BC₁與直線OD₁的夾角為
．
組卷：73引用：3難度：0.6
解析
6．已知復(fù)平面上平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（-2，-1），B（7，3）、C（12，9）、D（x,y）按逆時(shí)針方向排列，則向量
AD
所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
．
組卷：38引用：1難度：0.8
解析
7．設(shè)f（n）=
（
1
+
i
1
-
i
）
n
+
（
1
-
i
1
+
i
）
n
（
n
∈
N
）
，則集合{x|x=f（n）}的子集個(gè)數(shù)是
．
組卷：101引用：2難度：0.9
解析

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三、解答題（本大題共有5題，共48分，解答時(shí)必須寫出必要的步驟）

20．利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(duì)（z₁，z₂）（其中z₁，z₂∈C）視為一個(gè)向量，記作
α
=
（
z
1
，
z
2
）
．類比平面向量可以定義其運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)向量
α
=
（
z
1
，
z
2
）
，
β
=
（
z
1
′，
z
2
′
）
的數(shù)量積定義為一個(gè)復(fù)數(shù)，記作
a
?
β
，滿足
α
?
β
=
z
1
z
1
′
+
z
2
z
2
′
，復(fù)向量
α
的模定義為
|
α
|
=
α
?
α
′
．
（1）設(shè)
α
=
（
1
-
i
,
i
）
，
β
=（3，4），i為虛數(shù)單位，求復(fù)向量
α
、
β
的模；
（2）設(shè)
α
、
β
是兩個(gè)復(fù)向量．
①已知對(duì)于任意兩個(gè)平面向量
a
=
（
x
1
，
y
1
）
，
b
=
（
x
2
，
y
2
）
，（其中x₁，x₂，y₁，y₂∈R），
|
a
?
b
|
≤
|
a
|
|
b
|
成立，證明：對(duì)于復(fù)向量
α
、
β
，
|
α
?
β
|
≤
|
α
|
|
β
|
也成立；
②當(dāng)
|
α
?
β
|
=
|
α
|
|
β
|
時(shí)，稱復(fù)向量
α
與
β
平行．若復(fù)向量
α
=
（
1
+
i
,
1
-
2
i
）
與
β
=（i,z）平行（其中i為虛數(shù)單位，z∈C），求復(fù)數(shù)z.
組卷：196引用：2難度：0.3
解析
21．如圖，已知O是邊長為1的正△ABC的外心，P₁，P₂，…，P_n為BC邊上的n+1等分點(diǎn)，Q₁，Q₂，…，Q_n為AC邊上的n+1等分點(diǎn)，L₁，L₂，…，L_n為AB邊上的n+1等分點(diǎn)．
（1）當(dāng)n=2023時(shí)，求|
OC
+
O
P
1
+
O
P
2
+
…
+
O
P
2023
+
OB
|的值；
（2）當(dāng)n=4時(shí)．
①求
OA
?
A
Q
j
+
OA
?
A
L
k
的值（用含j,k的式子表示）；
②若M={m|m=
O
P
i
?
O
Q
j
+
O
Q
j
?
O
L
k
+
O
L
k
?
O
P
i
，1≤i,j,k≤4，i,j,k∈N}，分別求集合M中最大元素與最小元素的值．
?
組卷：97引用：2難度：0.2
解析