2023-2024學年江蘇省南京市東山高級中學三校聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項時符合題目要求的。

• 1．設復數(shù)z滿足2+z=（2-z）i,則|z|=（　?。?/h2>

  A．2

  B． 2 2

  C．1

  D．4
  組卷：30引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知集合

  A

  =

  {

  x

  ∈

  Z

  |

  x

  +

  2

  x

  -

  3

  ≤

  0

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ≤

  -

  1

  或x＞3}，則A∩（?_RB）=（　?。?/h2>

  A．（-1，3）

  B．{0，1}

  C．{0，1，2，3}

  D．{0，1，2}
  組卷：102引用：2難度：0.9

  解析

• 3．黃金分割最早見于古希臘和古埃及．黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的a,b兩段，使得長線段a與原線段a+b的比等于短線段b與長線段a的比，即a：（a+b）=b：a,其比值約為0.6180339…．小王酷愛數(shù)學，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設置的不同密碼個數(shù)為（　?。?/h2>

  A．180

  B．210

  C．240

  D．360
  組卷：169引用：3難度：0.8

  解析

• 4．拋物線y²=4x的焦點為F，點P在雙曲線C：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =

  1

  的一條漸近線上，O為坐標原點，若

  2

  |

  OF

  |

  =

  |

  PF

  |

  ，則△PFO的面積為（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C． 1 5 或 1 10

  D． 1 2 或 1 10
  組卷：108引用：3難度：0.6

  解析

• 5．在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，則

  PA

  ?

  PB

  的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．[-5，3]

  B．[-3，5]

  C．[-6，4]

  D．[-4，6]
  組卷：4911引用：27難度：0.4

  解析

• 6．若直線：ax-by+3=0（a＞0，b＞1）平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的面積，則

  2

  a

  +

  1

  b

  -

  1

  的最小值為（　?。?/h2>

  A．6

  B．8

  C．4

  D． 4 + 2 6
  組卷：117引用：3難度：0.6

  解析

• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  cosx , x ≤ 0

  lnx x ， 0 ＜ x ＜ 4 π

  ，則y=f（x）（x∈R）的圖象上關于y軸對稱的點共有（　?。?/h2>

  A．1對

  B．2對

  C．3對

  D．4對
  組卷：53引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余題目為12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  6

  3

  ，兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面積為

  4

  2

  ．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）我們稱圓心在橢圓C上運動，半徑為

  a

  2

  的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過原點O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點，若直線OA，OB的斜率存在，記為k₁，k₂．
  ①求證：k₁k₂為定值；
  ②試問|OA|²+|OB|²是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
  組卷：361引用：5難度：0.3

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• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  a

  e

  x

  ．
  （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （2）若

  3

  +

  2

  lnx

  e

  x

  ≤

  f

  （

  x

  ）

  +

  2

  x

  ，求a的取值范圍．
  組卷：49引用：1難度：0.2

  解析