2023-2024學年江蘇省南京市高二（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，它們的產量之比為2：3：5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產品有20件，則樣本容量n為（　?。?/h2>

  A．50

  B．80

  C．100

  D．200
  組卷：205引用：4難度：0.8

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• 2．已知復數z₀=3+i,其中i為虛數單位，復數z滿足zz₀=3z+z₀，則z=（　?。?/h2>

  A．1-3i

  B．1+3i

  C．3+i

  D．3-i
  組卷：30引用：1難度：0.8

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• 3．已知圓C₁：x²+y²-x-ay=0與圓C₂：x²+y²-2x-4y+2=0的公共弦所在直線與x軸垂直，則實數a的值為（　　）

  A．-4

  B．-2

  C．2

  D．4
  組卷：71難度：0.7

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• 4．《數書九章》天池測雨：今州郡都有天池盆，以測雨水．但知以盆中之水為得雨之數．不知器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測，便為平地得雨之數，即平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積．假令器形為圓臺，盆口徑（直徑）一尺四寸，底徑（直徑）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），則平地降雨量為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：22引用：1難度：0.7

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• 5．已知cosx+sinx=

  2

  3

  ，則

  sin

  2

  x

  cos

  （

  x

  -

  π

  4

  ）

  =（　?。?/h2>

  A．- 7 16

  B．- 7 2 6

  C．- 7 6

  D．- 7 3
  組卷：277引用：5難度：0.6

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• 6．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為其右支上一點，連接PF₁交y軸于點Q，若△PQF₂為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（　?。?/h2>

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  組卷：452難度：0.7

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• 7．在平面直角坐標系xOy中，P為直線3x+4y+1=0上一點．若向量

  a

  =（3，4），則向量

  OP

  在向量

  a

  上的投影向量為（　　）

  A．- 1 5	B．（- 3 5 ，- 4 5 ）
  C．（- 3 25 ，- 4 25 ）	D．無法確定
  組卷：40引用：1難度：0.8

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四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABB₁=

  π

  2

  ，∠B₁BC=

  π

  3

  ．
  （1）證明：A₁C₁⊥B₁C；
  （2）求直線BC與平面ABB₁A₁所成角的大?。?/h2>
  組卷：126引用：4難度：0.5

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• 22．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，且焦距為2

  3

  ，橢圓C的上頂點為B，且

  B

  F

  1

  ?

  B

  F

  2

  =-2．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若直線l過點A（2，-1），且與橢圓C交于M，N兩點（不與B重合），直線BM與直線BN分別交直線x=4于P，Q兩點．判斷是否存在定點G，使得點P，Q關于點G對稱，并說明理由．
  組卷：101難度：0.5

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