2023-2024學(xué)年吉林省長春市朝陽區(qū)長春外國語學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

• 1．已知圓的方程是（x-1）²+（y-3）²=4，其圓心和半徑分別是（　?。?/h2>

  A．（-1，-3），2

  B．（-1，-3），4

  C．（1，3），2

  D．（1，3），4
  組卷：152引用：6難度：0.7

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• 2．過直線x+y-3=0和2x-y+6=0的交點，且與直線2x+y-3=0垂直的直線方程是（　?。?/h2>

  A．4x+2y-9=0

  B．4x-2y+9=0

  C．x+2y-9=0

  D．x-2y+9=0
  組卷：189引用：8難度：0.7

  解析

• 3．如圖，在三棱錐O-ABC中，點P，Q分別是OA，BC的中點，點D為線段PQ上一點，且

  PD

  =

  2

  DQ

  ，若記

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，則

  OD

  =（　?。?/h2>

  A． 1 6 a + 1 3 b + 1 3 c	B． 1 3 a + 1 3 b + 1 3 c
  C． 1 3 a + 1 6 b + 1 3 c	D． 1 3 a + 1 3 b + 1 6 c
  組卷：244引用：15難度：0.7

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• 4．過點P（2，4）引圓（x-1）²+（y-1）²=1的切線，則切線的方程為（　?。?/h2>

  A．x=-2或4x+3y-4=0	B．4x-3y+4=0
  C．x=2或4x-3y+4=0	D．4x+3y-4=0
  組卷：179引用：1難度：0.7

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• 5．唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為B（3，4），若將軍從點A（-2，0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y=x,則“將軍飲馬”的最短總路程為（　　）

  A．5

  B． 3 5

  C．45

  D． 5 3
  組卷：83引用：5難度：0.8

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• 6．如圖，已知正四面體ABCD中，

  AE

  =

  1

  2

  AB

  ，

  CF

  =

  1

  2

  CD

  ，則異面直線DE和BF所成角的余弦值等于（　　）

  A． 2 3

  B． 3 3

  C． 6 3

  D． 3 5 10
  組卷：164引用：5難度：0.5

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• 7．阿波羅尼斯（約公元前262～190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k（k＞0，k≠1）的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B的距離之比為

  2

  2

  ，當(dāng)P，A，B不共線時，△PAB的面積的最大值是（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 2 2 3

  D． 2 3
  組卷：92引用：4難度：0.5

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四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的體積為

  2

  3

  3

  ．
  （1）若E為棱SB的中點，求證：PE∥平面SCD；
  （2）在棱SA上是否存在點M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為

  2

  3

  5

  ？若存在，指出點M的位置并給以證明；若不存在，請說明理由．
  組卷：273引用：22難度：0.5

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• 22．已知兩個定點M（1，0）和N（2，0），動點P滿足

  |

  PN

  |

  =

  2

  |

  PM

  |

  ．
  （1）求動點P的軌跡C的方程；
  （2）若A，B為（1）中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標(biāo)原點．設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k₁，k₂，k.當(dāng)k₁k₂=3時，求k的取值范圍．
  組卷：181引用：4難度：0.3

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