【學(xué)習(xí)與思考】類比圓的切線，拋物線的切線是指過拋物線上一點的直線，這條直線不與x軸垂直并且與拋物線只有一個公共點．比如在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上的點P（1，1），過點P的切線可寫作：y=kx+b,代入x=1，y=1，得到b=-k+1，所以y=kx-k+1，與y=x2聯(lián)立，得到x2-kx+k-1=0，因為只有一個公共點，所以Δ=k2-4k+4=0，得到k=2，所以經(jīng)過點P的切線為y=2x-1．
【理解與應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=14x2．
（1）點A（m,n）（m≠0）在拋物線上，設(shè)過點A的切線為l.
①若m=2，求l的表達式；
②設(shè)l與y軸交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，求證：四邊形OACB為平行四邊形；
（2）動點D，E在該拋物線上，分別過點D，E作拋物線切線l1，l2，設(shè)l1，l2交于點F．若點F始終在直線y=2x-1上，試說明直線DE經(jīng)過定點，并求出該定點坐標(biāo)．
y
=
1
4
x
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①直線l的表達式為：y=x-1；②見解答；（2）直線DE過定點，定點坐標(biāo)為：（4，1）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：970引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知：拋物線C1：y=-（x+m）2+m2（m＞0），拋物線C2：y=（x-n）2+n2（n＞0），稱拋物線C1，C2互為派對拋物線，例如拋物線C1：y=-（x+1）2+1與拋物線C2：y=（x-
）2+2是派對拋物線，已知派對拋物線C1，C2的頂點分別為A，B，拋物線C1的對稱軸交拋物線C2于C，拋物線C2的對稱軸交拋物線C1與D．2
（1）已知拋物線①y=-x2-2x,②y=（x-3）2+3，③y=（x-）2+2，④y=x2-x+2，則拋物線①②③④中互為派對拋物線的是（請在橫線上填寫拋物線的數(shù)字序號）；12
（2）如圖1，當(dāng)m=1，n=2時，證明AC=BD；
（3）如圖2，連接AB，CD交于點F，延長BA交x軸的負半軸于點E，記BD交x軸于G，CD交x軸于點H，∠BEO=∠BDC．
①求證：四邊形ACBD是菱形；
②若已知拋物線C2：y=（x-2）2+4，請求出m的值．
發(fā)布：2025/5/23 9:0:2組卷：765引用：6難度：0.3 -
2．如圖，拋物線
與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B（0，2）．y=-14x2+bx+c
（1）求拋物線的表達式．
（2）D為線段AB上一點（不與點A，B重合），過點D作DE⊥x軸于點E，交拋物線于點F，若DE=DF，求點D的坐標(biāo)．
（3）P是第四象限內(nèi)拋物線上一點，已知∠PBA=∠BAO，則點P的坐標(biāo)為 ．
發(fā)布：2025/5/23 9:0:2組卷：398引用：3難度：0.4 -
3．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（-2，0）、B（5，0）兩點，過點C（2，4）．動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB方向運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求拋物線y=ax2+bx+c的表達式；
（2）過D作DE⊥AB交AC于點E，連接BE．當(dāng)t=3時，求△BCE的面積；
（3）如圖2，點F（4，2）在拋物線上．當(dāng)t=5時，連接AF，CF，CD，在拋物線上是否存在點P，使得∠ACP=∠DCF？若存在，直接寫出此時直線CP與x軸的交點Q的坐標(biāo)，若不存在，請簡要說明理由．
?發(fā)布：2025/5/23 9:0:2組卷：299引用：3難度：0.4
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