如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（30，0）和（0，30），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在折線AO—OB—BA上以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、直線AB交于E、F點(diǎn)．連結(jié)FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P與直線EF停止運(yùn)動(dòng)．
（1）連接PE，t為何值時(shí)，四邊形APEF為平行四邊形？
（2）t為何值時(shí)，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)P？
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)為

y

=

k

x

，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為G；
①當(dāng)t為何值時(shí)，k有最大值，最大值為多少？
②請(qǐng)?zhí)剿鲝闹本€EF第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)P起，順次連接PEGF所得多邊形的面積S是否存在最大值，若有請(qǐng)求出最大值及相應(yīng)t的值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．