我們定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．例如，如圖（1），△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE（SAS）
（1）熟悉模型：如圖（2），已知△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，求證：BD=CE；
（2）運用模型：如圖（3），P為等邊△ABC內(nèi)一點，且PA：PB：PC=3：4：5，求∠APB的度數(shù)．小明在解決此問題時，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以BP為邊構(gòu)造等邊△BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點B，然后連接CM，通過轉(zhuǎn)化的思想求出了∠APB的度數(shù)，則∠APB的度數(shù)為150150度；
（3）深化模型：如圖（4），在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】150
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：2352引用：3難度：0.2
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1．閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．
求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．
①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若AE2+AG2=10，試求出正方形ABCD的面積．
發(fā)布：2025/6/1 7:30:2組卷：1102引用：6難度：0.2 -
2．如圖，在正方形ABCD中，AB=1，延長BC至M，使BM=6．以BD、BM為鄰邊作?DBMN．動點P從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿DN向終點N運動，過點P作PQ⊥BM交BM或BM的延長線于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQRS．設(shè)正方形PQRS與?DBMN的重疊部分的面積為y,點P運動的時間為t（t＞0，單位：秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段PN為 ；
（2）當點S與點N重合時，求t的值；
（3）當正方形PQRS與?DBMN的重疊部分不是正方形時，用含t的代數(shù)式表示y；
（4）當△DQS或△PRN是銳角三角形時，直接寫出t的取值范圍．發(fā)布：2025/6/1 8:0:2組卷：79引用：1難度：0.3 -
3．如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．
（1）當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；
（2）將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長PB′交直線AD于點F．
①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；
②連接B′C，直接寫出△PCB′周長的最小值．發(fā)布：2025/6/1 6:30:1組卷：1204引用：2難度：0.1
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