如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABP≌△ECP；
（2）將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點(diǎn)B′落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長PB′交直線AD于點(diǎn)F．
①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；
②連接B′C，直接寫出△PCB′周長的最小值．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）①；
②12．
（2）①
13
2
②12．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2025/6/1 6:30:1組卷：1204引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖1所示，邊長為4的正方形ABCD與邊長為a（0＜a＜4）的正方形CFEG的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在對角線AC上．
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，AE與BF的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）【類比探究】如圖2所示，將正方形CFEG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜30°），請問此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？若成立，寫出推理過程，若不成立，說明理由；
（3）【拓展延伸】當(dāng)時(shí)，正方形CFEG若按圖1所示位置開始旋轉(zhuǎn)，在正方形CFEG的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A、F、C在一條直線上時(shí)，請直接寫出此時(shí)線段AE的長 ．a=2發(fā)布：2025/6/2 21:30:9組卷：370引用：2難度：0.1 -
2．（1）問題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，得AE=AG；再由條件可得∠EAF=∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）探索延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．12
（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西20°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東80°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東30°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)．2小時(shí)后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，此時(shí)在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為60°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
發(fā)布：2025/6/2 21:0:1組卷：278引用：3難度：0.1 -
3．問題背景
定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是180°，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)三角形．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，則△ABC與△DBC是關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形．
（1）初步思考：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點(diǎn)，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．則△ABC關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形是 ，并說明理由．
（2）實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，若△BEF與△BCF是關(guān)于BF互補(bǔ)三角形，試求AE的長．
（3）思維探究：如圖4，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，△BEP與△BCP是關(guān)于BP的互補(bǔ)三角形，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．發(fā)布：2025/6/2 17:30:1組卷：304引用：5難度：0.3