設M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x2+sinx4是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m,n]?D，都存在x0∈[m,n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；
（Ⅲ）設x1是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2、x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．
f
（
x
）
=
x
2
+
sinx
4
【考點】不等式的證明．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/11 9:0:1組卷：520引用：10難度：0.5
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1．已知關于x的不等式|x+1|-|x-2|≥|t-1|+t有解．
（1）求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若a,b,c均為正數(shù)，m為t的最大值，且2a+b+c=m.求證：．a2+b2+c2≥23發(fā)布：2024/12/29 8:0:12組卷：64引用：9難度：0.5 -
2．若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m.
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意正數(shù)a,b,證明：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3；
（3）對任意兩個不相等的正數(shù)a,b,證明：a3+b3比a2b+ab2遠離．2abab發(fā)布：2024/10/10 0:0:4組卷：21引用：1難度：0.4 -
3．我們知道，
，當且僅當a=b時等號成立．即a,b的算術平均數(shù)的平方不大于a,b平方的算術平均數(shù)．此結論可以推廣到三元，即（a+b2）2≤a2+b22，當且僅當a=b=c時等號成立．（a+b+c3）2≤a2+b2+c23
（1）證明：，當且僅當a=b=c時等號成立．（a+b+c3）2≤a2+b2+c23
（2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求實數(shù)t的最小值．x+y+z≤tx+y+z發(fā)布：2024/10/12 1:0:1組卷：15引用：2難度：0.4
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