2023-2024學年上海市長寧區(qū)延安中學高三（上）開學數學試卷（9月份）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．集合M={x|x-4＜1，x∈N}，則M中元素的個數為

  ．
  組卷：22引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知隨機變量X～N（1，4），若P（X＜a+3）=P（X＞2a-4），則實數a的值為

  ．
  組卷：62引用：1難度：0.7

  解析

• 3．若

  sin

  （

  π

  4

  +

  α

  ）

  =

  1

  2

  ，則sinα+cosα=

  ．
  組卷：63引用：3難度：0.7

  解析

• 4．若

  lo

  g

  x

  （

  2

  x

  ）

  =

  4

  ，則x=

  ．
  組卷：52引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知直線l₁：2ax+y+1=0與直線l₂：（a-1）x-ay+2=0垂直，則實數a的值為

  ．
  組卷：150難度：0.9

  解析

• 6．已知復數z=a+bi,其中a∈{-2，0，1}，b∈{0，1，4，9}，則復數z=a+bi是純虛數的概率為

  ．
  組卷：58引用：4難度：0.8

  解析

• 7．在（3x-

  1

  x

  ）ⁿ的展開式中，各項系數和與二項式系數和之和為128，則展開式中的常數項為

  ．
  組卷：378難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應的題號）規(guī)定內寫出必要的步驟.

• 20．已知A₁（-2，0），A₂（2，0）分別是橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右頂點，過A₁作兩條互相垂直的直線A₁M，A₁N，分別交橢圓C于M，N兩點，△A₁MA₂面積的最大值為

  2

  2

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若直線A₂M與A₁N交于點P，直線A₂N與A₁M交于點Q．
  ①求直線PQ的方程；
  ②記△MNA₁，△PQA₁的面積分別為S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最大值．
  組卷：218引用：4難度：0.6

  解析

• 21．設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
  （Ⅰ）判斷函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  sinx

  4

  是否是集合M中的元素，并說明理由；
  （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m,n]?D，都存在x₀∈[m,n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
  （Ⅲ）設x₁是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．
  組卷：520難度：0.5

  解析