在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y=x-2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C：x2=y的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，N為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：MN⊥x軸；
（2）直線AB是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．
【答案】（1）證明：設(shè)切點(diǎn)A（x1，），B（x2，x2），
因?yàn)閥'=2x，所以切線MA的斜率為2x1，直線MA的方程為：y=2x1（x-x1）+=2x1x-，
設(shè)M的坐標(biāo)為：（t，t-2）
所以-2tx1+t-2=0，
直線MB的斜率為2x2，切線MB的方程為y=2x2x-，
所以M點(diǎn)是方程-2tx2+t-2=0，
所以x1，x2是方程x2-2tx+t-2=0的兩根，x1+x2=2t，
因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)．所以xN==t，
所以M，N的橫坐標(biāo)相同，
即證MN⊥x軸；
（2）是，定點(diǎn)為定點(diǎn)（，2），理由：
由（1）得yN=（+）==2t2-t+2，
又因?yàn)閗AB==x1+x2=2t，
所以直線AB的方程為：y-（2t2-t+2）=2t（x-t），即y-2=2t（x-），
所以直線AB恒過一定點(diǎn)（，2）．
x
2
1
因?yàn)閥'=2x，所以切線MA的斜率為2x1，直線MA的方程為：y=2x1（x-x1）+
x
2
1
x
2
1
設(shè)M的坐標(biāo)為：（t，t-2）
所以
x
2
1
直線MB的斜率為2x2，切線MB的方程為y=2x2x-
x
2
2
所以M點(diǎn)是方程
x
2
2
所以x1，x2是方程x2-2tx+t-2=0的兩根，x1+x2=2t，
因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)．所以xN=
x
1
+
x
2
2
所以M，N的橫坐標(biāo)相同，
即證MN⊥x軸；
（2）是，定點(diǎn)為定點(diǎn)（
1
2
由（1）得yN=
1
2
x
2
1
x
2
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
2
x
1
x
2
2
又因?yàn)閗AB=
x
1
2
-
x
2
2
x
1
-
x
2
所以直線AB的方程為：y-（2t2-t+2）=2t（x-t），即y-2=2t（x-
1
2
所以直線AB恒過一定點(diǎn)（
1
2
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：110引用：3難度：0.5
相似題
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1．拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,A，B是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ?。?/h2>|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：455引用：8難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過x軸上一定點(diǎn)D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ?。?/h2>S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點(diǎn)P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)M，N是y軸上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點(diǎn)D，Q，射線MP交x軸正半軸于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：95引用：2難度：0.4