我們知道到三角形三個頂點距離相等的點是三角形的外心．在三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是三角形的內(nèi)心．由此，我們可以引入如下新的概念：
定義1：到三角形兩個頂點距離相等的點叫做這個三角形的準外心，如圖①，PA=PB，點P叫做△ABC的準外心，也可以稱作△ABC邊AB上的準外心．
定義2：到三角形的內(nèi)角兩邊距離相等的點叫做這個三角形的準內(nèi)心，如圖②，QD⊥AB，QE⊥AC，且QD=QE，則點Q叫做△ABC的準內(nèi)心，也可以稱作△ABC邊AB和AC上的準內(nèi)心．
應用：
（1）如圖③，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=12AB，則∠APB=9090°．
（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．
①若點M是△ABC的準內(nèi)心，且M在邊BC上，求CM的長；
②若點N是△ABC的準外心，且是△ABC邊CA和CB上的準內(nèi)心，求CN的值．
PD
=
1
2
AB
【考點】三角形綜合題．
【答案】90
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：151引用：1難度：0.2
相似題
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1．（1）閱讀理解：
如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是；
（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．
發(fā)布：2025/6/17 11:0:1組卷：624引用：7難度：0.4 -
2．把一副三角板按如圖1擺放（點C與點E重合），點B，C（E），F(xiàn)在同一直線上．∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm,點P是線段AB的中點．△DEF從圖1的位置出發(fā)，以4cm/s的速度沿CB方向勻速運動，如圖2，DE與AC相交于點Q，連接PQ．當點D運動到AC邊上時，△DEF停止運動．設(shè)運動時間為t（s）．
（1）當t=1時，求AQ的長；
（2）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（3）當t為何值時，△APQ是直角三角形？
發(fā)布：2025/6/17 21:30:1組卷：286引用：3難度：0.1 -
3．已知，如圖，在平面直角坐標系中，A為y軸正半軸上一點，B為x軸負半軸上一點．
（1）若BP平分∠ABO，AP平分∠BAO的外角，求∠P．
（2）如圖2，C為x軸正半軸上一點，BP平分∠ABC，且P在AC的垂直平分線上．若∠ABC=2∠ACB，求證：AP∥BC．
（3）在第（2）問的條件下，D是AB上一點，E是x軸正半軸上一點，連AE交DP于H．當∠DHE與∠ABE滿足什么條件時，DP=AE，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/17 19:30:1組卷：75引用：1難度：0.3
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