已知圓C滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，圓C與直線3x-4y+7=0相切，且被y軸截得的弦長為23，圓C的面積小于13．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．
2
3
【考點】直線及坐標軸被圓截得的弦及弦長．
【答案】（Ⅰ）（x-1）2+y2=4；
（Ⅱ）不存在，理由如下：
當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．
當斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l與圓C相交于不同的兩點，
聯(lián)立
，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴Δ=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得或．
x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，
假設(shè)∥，則-3（x1+x2）=y1+y2，
∴，
解得 ，假設(shè)不成立．
∴不存在這樣的直線l．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．
當斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l與圓C相交于不同的兩點，
聯(lián)立
y = kx + 3 |
（ x - 1 ） 2 + y 2 = 4 |
∴Δ=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得
k
＜
1
-
2
6
3
k
＞
1
+
2
6
3
x1+x2=
-
6
k
-
2
1
+
k
2
2
k
+
6
1
+
k
2
OD
MC
=
（
1
，-
3
）
假設(shè)
OD
MC
∴
3
×
6
k
-
2
1
+
k
2
=
2
k
+
6
1
+
k
2
解得
k
=
3
4
?
（
-
∞
，
1
-
2
6
3
）
∪
（
1
+
2
6
3
，
+
∞
）
∴不存在這樣的直線l．
【解答】
【點評】
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