如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式：
（2）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①連接OD交AB于點(diǎn)E，求DEOE的最大值；
②過點(diǎn)D作x軸的垂線交AB于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△COF相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
y
=
-
1
2
x
+
2
y
=
-
1
2
x
2
+
bx
+
c
DE
OE
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）；
（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；
（3）①的最大值為1；
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為或（2，3）．
y
=
-
1
2
x
2
+
3
2
x
+
2
（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；
（3）①
DE
OE
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（
3
2
，
25
8
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/28 8:51:19組卷：249引用：2難度：0.4
相似題
-
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA+FC的最小值．
發(fā)布：2025/6/20 9:30:2組卷：197引用：4難度：0.5 -
2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過C、D、B三點(diǎn)．
（1）該拋物線的解析式為；
（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，并交直線AB于N，過點(diǎn)E再作EM⊥AB于點(diǎn)M，求△EMN周長的最大值；
（3）當(dāng)△EMN的周長最大時(shí)，在直線EF上是否存在點(diǎn)Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/6/20 10:0:1組卷：283引用：3難度：0.3 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且AB=4，OB=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線x=2上是否存在點(diǎn)M，使∠BMA=2∠MAB？若存在，求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為y軸上C點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與拋物線交于唯一公共點(diǎn)M、N，連接MN交y軸于Q，試探究PQ與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
發(fā)布：2025/6/20 10:0:1組卷：244引用：2難度：0.2