數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，劉老師展示一個(gè)問題情境，供同學(xué)們探究：
問題情境：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點(diǎn)P為斜邊AB上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，分別過P，Q作PD∥AC，QD∥AB，PD交QD于點(diǎn)D，請(qǐng)討論可能發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
以下是討論過程：
| 小明：我發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ是平行四邊形． 理由：由作圖可知，PD∥AC，QD∥AB，∴四邊形APDQ是平行四邊形． 小亮：我和小明想法一樣，但還可以用全等三角形來解決． 理由：∵PD∥AC，QD∥AB，∴∠DPQ=∠AQP，∠DQP=∠APQ． 又∵PQ=QP，∴△PDQ≌△QAP．∴PD=AQ，QD=PA． ∴四邊形APDQ是平行四邊形． 小紅：我發(fā)現(xiàn)如果點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)． |
請(qǐng)仔細(xì)閱讀討論過程，完成下述任務(wù)：
（1）小明推導(dǎo)四邊形APDQ是平行四邊形的依據(jù)是
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
，小亮推導(dǎo)四邊形APDQ是平行四邊形的依據(jù)是 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
，其中小亮得出△PDQ≌△QAP的依據(jù)是 ④
④
（填序號(hào)）；①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時(shí)，請(qǐng)證明小紅的結(jié)論；
（3）若PD的中點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在△ABC一邊的垂直平分線上時(shí)，直接寫出此時(shí)AP的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/30 8:30:2組卷：159引用：2難度：0.1
相似題
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1．在菱形ABCD中，∠ABC=60°
（1）如圖1，P是邊BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AP為邊向右作等邊△APE，連接BE、CE．
①求證：CE⊥AD；
②若AB=，BE=3，求AE的長(zhǎng)；19
（2）如圖2，P是邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE并延長(zhǎng)交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE、DF．若BE=11，DE=5，求△ADF的面積．
發(fā)布：2025/5/31 7:30:1組卷：690引用：4難度：0.1 -
2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°能與△DEC重合．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AC的垂直平分線，垂足為F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）問情況下，連接DF，求證：△CFD≌△ABC（填空）；
證明：（2）∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，
∴CF=，
∵∠BCA=30°，∠ABC=90°
∴BA=AC，∠A=60°，12
∴AB=，
∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，
∴AC=CD，∠FCD=60°，
∴∠A=，
在△ABC和△CFD中，，①：AB=CF∠A=∠FCD（①）
∴△ABC≌△CFD（SAS）；
（3）在（1）問情況下，連接BE，BF，DF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．發(fā)布：2025/5/31 5:30:3組卷：26引用：1難度：0.4 -
3．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EF=BE+DF，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小明探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是 ．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EF=BE+DF，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系為 ．
發(fā)布：2025/5/31 3:30:1組卷：181引用：2難度：0.1