設(shè)函數(shù)
f
（
x
）
=
-
1
2
x
2
+
（
a
-
1
）
x
+
alnx
+
a
2
，
a
＞
0
．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，并說明理由．

【答案】（1）f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；函數(shù)f（x）的最大值0，無最小值；（2）當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）一定沒有零點；當a=1時，函數(shù)f（x）有唯一的零點x=1；當a＞1時，函數(shù)f（x）有兩個不同的零點．

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：191引用：2難度：0.3

相似題

1．已知函數(shù)
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若關(guān)于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
對任意x∈（0，2）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍（　?。?/h2>
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
發(fā)布：2025/1/5 18:30:5組卷：298引用：2難度：0.4
解析
2．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的圖象在x=-1處的切線斜率為-1，且x=-2時，y=f（x）有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：48引用：4難度：0.5
解析
3．已知函數(shù)f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）有三個極值點x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范圍；
②求證：x₁+x₂+x₃＞-2．
發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：195引用：2難度：0.1
解析

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設(shè)函數(shù)f（x）=-12x2+（a-1）x+alnx+a2，a＞0．（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，并說明理由．