在平面上畫互相垂直的兩組平行線，相鄰平行線的距離都等于1，這兩組平行線的交點稱為“格點”，以格點為頂點的三角形稱為“格點三角形”，如圖1．關(guān)于格點三角形的面積S，有一個著名的Pick定理：S=I+12B-1，其中I，B分別表示三角形內(nèi)部與周界上的格點數(shù)．
（1）閱讀
我們把互相垂直的其中兩對平行線圍成的矩形稱為“格點矩形”，如圖2，可驗證Pick定理對格點矩形成立．設(shè)矩形ABCD的邊AB，AD上分別有m,n個格點（不包括端點），并記矩形內(nèi)部和周界上的格點數(shù)分別為I0，B0，則I0=mn,B0=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.I0+12B0-1=mn+12[2（m+n）+4]-1=mn+m+n+1=（m+1）（n+1） =SABCD.
完成下列兩題的證明
（2）任何一個格點三角形都可以內(nèi)接在一個格點矩形中，使三角形至少有一個頂點恰好是矩形的頂點．
圖3是最簡單的情形．設(shè)邊AC上的格點數(shù)為k（不包括端點），請用I0，B0和k分別表示△ABC內(nèi)部和周界上的格點數(shù)，并利用（1）的結(jié)論證明：對于△ABC，Pick定理成立．
（3）請利用（2）的結(jié)論證明：對于圖4所示的△ABC，Pick定理也成立．
S
=
I
+
1
2
B
-
1
I 0 + 1 2 B 0 - 1 = mn + 1 2 [ 2 （ m + n ） + 4 ] - 1 = mn + m + n + 1 = （ m + 1 ） （ n + 1 ） |
= S ABCD . |
【考點】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：36引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E．P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：574引用：1難度：0.2 -
2．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點P是射線BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當點P在線段BC上時，設(shè)BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，請直接寫出BP的長．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：254引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點E從點B出發(fā)沿折線B-C-D向終點D運動．過點E作點E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當EF過AC中點時，求AG的長．
（3）已知FG=8，設(shè)點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：1986引用：3難度：0.1
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