2007年浙江省杭州市江干區(qū)數(shù)學(xué)小能手競賽九年級試卷

一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

• 1．兩杯等量的液體，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，攪勻后舀一勺混合液注入到奶油杯里．這時(shí)，設(shè)咖啡杯里的奶油量為a,奶油杯里的咖啡量為b,那么a和b的大小為（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)＞b	B．a(chǎn)＜b
  C．a(chǎn)=b	D．與勺子大小有關(guān)
  組卷：173引用：2難度：0.7

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• 2．設(shè)A，B，C是三角形的三個內(nèi)角，滿足3A＞5B，3C＜2B，這個三角形是（　?。?/h2>

  A．銳角三角形

  B．鈍角三角形

  C．直角三角形

  D．都有可能
  組卷：469引用：3難度：0.7

  解析

• 3．滿足不等式n²⁰⁰＜5³⁰⁰的最大整數(shù)n等于（　　）

  A．8

  B．9

  C．10

  D．11
  組卷：622引用：3難度：0.7

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• 4．甲、乙兩車分別從A，B兩車站同時(shí)開出相向而行，相遇后甲行駛1小時(shí)到達(dá)B站，乙再行駛4小時(shí)到達(dá)A站．那么，甲車速是乙車速的（　?。?/h2>

  A．4倍

  B．3倍

  C．2倍

  D．1.5倍
  組卷：785引用：2難度：0.5

  解析

• 5．圖中的矩形被分成四部分，其中三部分面積分別為2，3，4，那么，陰影三角形的面積為（　?。?/h2>

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  組卷：485引用：4難度：0.9

  解析

三、解答題（共4小題，滿分60分）

• 15．如圖，在?ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，O，M分別是GH，GD與EF的交點(diǎn)，N是BE與GH的交點(diǎn)，OM=ON．求證：?ABCD是菱形．
  組卷：160引用：1難度：0.3

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• 16．在平面上畫互相垂直的兩組平行線，相鄰平行線的距離都等于1，這兩組平行線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”，如圖1．關(guān)于格點(diǎn)三角形的面積S，有一個著名的Pick定理：

  S

  =

  I

  +

  1

  2

  B

  -

  1

  ，其中I，B分別表示三角形內(nèi)部與周界上的格點(diǎn)數(shù)．
  （1）閱讀
  我們把互相垂直的其中兩對平行線圍成的矩形稱為“格點(diǎn)矩形”，如圖2，可驗(yàn)證Pick定理對格點(diǎn)矩形成立．設(shè)矩形ABCD的邊AB，AD上分別有m,n個格點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），并記矩形內(nèi)部和周界上的格點(diǎn)數(shù)分別為I₀，B₀，則I₀=mn,B₀=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.

  I 0 + 1 2 B 0 - 1 = mn + 1 2 [ 2 （ m + n ） + 4 ] - 1 = mn + m + n + 1 = （ m + 1 ） （ n + 1 ）

  = S ABCD .

  
  
  完成下列兩題的證明
  （2）任何一個格點(diǎn)三角形都可以內(nèi)接在一個格點(diǎn)矩形中，使三角形至少有一個頂點(diǎn)恰好是矩形的頂點(diǎn)．
  圖3是最簡單的情形．設(shè)邊AC上的格點(diǎn)數(shù)為k（不包括端點(diǎn)），請用I₀，B₀和k分別表示△ABC內(nèi)部和周界上的格點(diǎn)數(shù)，并利用（1）的結(jié)論證明：對于△ABC，Pick定理成立．
  （3）請利用（2）的結(jié)論證明：對于圖4所示的△ABC，Pick定理也成立．
  
  組卷：36引用：1難度：0.5

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