2010年競賽輔導：整數的基本知識4

一、選擇題（共3小題，每小題4分，滿分12分）

• 1．5¹⁹⁹⁹的末三位數是（　?。?/h2>

  A．025

  B．125

  C．625

  D．825
  組卷：91引用：1難度：0.9

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• 2．若自然數n使得作豎式加法n+（n+1）+（n+2）時均不產生進位現象，便稱n為“連綿數”．如因為12+13+14不產生進位現象，所以12是“連綿數”；但13+14+15產生進位現象，所以13不是“連綿數”，則小于100的“連綿數”共有（　?。﹤€．

  A．9

  B．11

  C．12

  D．15
  組卷：337難度：0.9

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• 3．小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然數的個數為（　?。?/h2>

  A．658

  B．648

  C．686

  D．688
  組卷：195引用：1難度：0.7

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二、填空題（共3小題，每小題5分，滿分15分）

• 4．2^m+2006+2^m（m是正整數）的末位數字是

   

  ．
  組卷：118引用：2難度：0.1

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• 5．滿足[x?y]=6，[y?z]=15的正整數組（x,y,z）共有

  組．
  組卷：71引用：1難度：0.7

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三、解答題（共9小題，滿分93分）

• 14．如果對一切x的整數值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數（即整數的平方），
  證明：（1）2a,2b,c都是整數；
  （2）a,b,c都是整數，并且c是平方數；
  （3）反過來，如（2）成立，是否對一切x的整數值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數？
  組卷：328引用：6難度：0.1

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• 15．沿著圓周放著一些數，如果有依次相連的4個數a,b,c,d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交換b,c的位置，這稱為一次操作．
  （1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
  （2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
  
  組卷：112引用：4難度：0.5

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