2023-2024學(xué)年湖南省湘潭市鋼鐵集團(tuán)第一子弟中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．?

  B．（-1，+∞）

  C．（0，3）

  D．（1，3）
  組卷：54引用：7難度：0.7

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• 2．歐拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，x∈R）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，則（　　）

  A．eπi=1

  B． e πi 2 為實(shí)數(shù)

  C． | e xi 3 + i | = 1 2

  D．復(fù)數(shù)e2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
  組卷：19引用：3難度：0.7

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• 3．已知

  |

  a

  |

  =

  2

  |

  b

  |

  ，若

  a

  與

  b

  的夾角為120°，則

  2

  b

  -

  a

  在

  a

  上的投影向量為（　?。?/h2>

  A． 3 - 3 a

  B． - 3 2 a

  C． - 1 2 a

  D． 3 a
  組卷：453引用：9難度：0.8

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• 4．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)境保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng)，貴州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.8mg/cm³，排放前每過(guò)濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%，貴州省環(huán)保部門(mén)為了保護(hù)好貴州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過(guò)0.3mg/cm³，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過(guò)濾的次數(shù)至少為（　　）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.477）

  A．7

  B．8

  C．9

  D．10
  組卷：129引用：3難度：0.7

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• 5．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的

  x

  ∈

  （

  -

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）

  滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　?。?/h2>

  A． f （ 0 ） ＞ 2 f （ π 4 ）	B． 2 f （ - π 3 ） ＞ f （ - π 4 ）
  C． 2 f （ π 3 ） ＞ f （ π 4 ）	D． f （ 0 ） ＞ 2 f （ π 3 ）
  組卷：380引用：7難度：0.6

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• 6．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ,

  B

  =

  π

  3

  ，

  c

  =

  2

  ，則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． （ 3 + 3 ， 2 + 2 3 ）

  B． （ 3 + 3 ， 4 + 2 3 ）

  C． （ 3 + 3 ， 6 + 2 3 ）

  D． （ 3 + 3 ， + ∞ ）
  組卷：193引用：3難度：0.5

  解析

• 7．已知C，D是圓O：x²+y²=9上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過(guò)定點(diǎn)P，若以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則CD最小值為（　?。?/h2>

  A．4- 2

  B．4+ 2

  C．8-2 2

  D．6- 2
  組卷：172引用：6難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

• 21．已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
  （Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
  （Ⅱ）若對(duì)任意的

  x

  ∈

  （

  1

  e

  ，

  +

  ∞

  ）

  ，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
  組卷：66引用：3難度：0.6

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• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  1

  2

  ，

  A

  1

  ，

  A

  2

  分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，B是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△BA₁F₁的外接圓半徑為

  2

  21

  3

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）設(shè)與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q在x軸的兩側(cè)），記直線A₁P，A₂P，A₂Q，A₁Q的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄．
  （?。┣髃₁?k₂的值；
  （ⅱ）若k₁+k₄=

  5

  3

  （

  k

  2

  +

  k

  3

  ）

  ，則求△F₂PQ的面積的取值范圍．
  組卷：91引用：3難度：0.5

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