2022年四川省成都市私立高中自主招生補錄名額選拔數學試卷

一、填空題。（共10小題，每題8分，共80分）

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，集合B={x|x＜m}，且A∪B=B，則實數m的取值范圍為

  ．
  組卷：40引用：1難度：0.5

  解析

• 2．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°．M和N分別是線段AD和線段BC上的點，且滿足BN=DM，則線段MN的最小值為

  ．
  組卷：932難度：0.4

  解析

• 3．在平面直角坐標系xOy中有兩點A，B，若在y軸上有一點P，連接PA，PB，當∠APB=45°時，則稱點P為線段AB關于y軸的“半直點”．例：如圖，點A（-3，1），B（-3，-2），則點P（0，1）就是線段AB關于y軸的一個“半直點”，線段AB關于y軸的另外的“半直點”的坐標為

  ；若點C（3，3），點D（6，-1），則線段CD關于y軸的“半直點”的坐標為

  ．
  組卷：843難度：0.2

  解析

• 4．已知a∈R，函數f（x）=

  a 2 - ax , x ＜ 1

  x 2 - ax , x ≥ 1

  ．
  ①若f[f（a）]=1，則a之值為

  ；
  ②若不等式f（x）≥f（1）對任意x∈R都成立，則a的取值范圍是

  ．
  組卷：160引用：1難度：0.5

  解析

二、解答題。（共4小題，11、12題每題15分，13、14題每題20分，共70分）

• 13．如圖，拋物線y=-x²+2mx+m+2與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，OB=3OA．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）設D是第四象限內拋物線上的點，連接AD、OD、CD，S_△COD：S_△AOD=12：5．
  ①求點D的坐標；
  ②連接BD，若點P，Q是拋物線上不重合的兩個動點，在直線x=a（a＞0）上是否存在點M，N（點A，P，M按順時針方向排列，點A，Q，N按順時針排列），使得△APM≌△AQN且△APM∽△ABD？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：417難度：0.2

  解析

• 14．如圖1，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA=OB=OC=OD=3，OC平分∠BOD，與BD交于點G，AC分別與BD、OD交于點E、F．
  （1）求證：OC∥AD；
  （2）如圖2，若DE=DF，求

  AE

  AF

  的值；
  （3）當四邊形ABCD的周長取最大值時，求

  DE

  DF

  的值．
  
  組卷：566引用：2難度：0.3

  解析