人教五四新版九年級（上）中考題同步試卷：28.3 二次函數(shù)與實際問題（18）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx-4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．
  （1）求該二次函數(shù)的解析式；
  （2）當點P的坐標為（-4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
  （3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
  ①連接AN，當△AMN的面積最大時，求t的值；
  ②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．
  
  組卷：716引用：52難度：0.5

  解析

• 2．如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，頂點為F．
  （1）求A，B，C三點的坐標；
  （2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
  （3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
  ①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
  ②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．
  組卷：739引用：54難度：0.5

  解析

• 3．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx-3b+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經(jīng)過點（b-2，2b²-5b-1）．
  （1）求這條拋物線的解析式；
  （2）⊙M過A，B，C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；
  （3）連接AM，DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA，MD與x軸，y軸分別交于點E，F(xiàn)．若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標．
  組卷：687引用：51難度：0.5

  解析

• 4．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（5，3），拋物線y=

  3

  5

  x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M、B、D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標；
  （3）點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動，當點P到達點B時，P、Q同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．
  
  組卷：947引用：56難度：0.5

  解析

• 5．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=

  2

  3

  ，若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
  （1）求經(jīng)過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
  （2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標．
  （3）線段OB與拋物線交于點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：353引用：51難度：0.5

  解析

• 6．如圖1，已知直線l：y=-x+2與y軸交于點A，拋物線y=（x-1）²+k經(jīng)過點A，其頂點為B，另一拋物線y=（x-h）²+2-h（h＞1）的頂點為D，兩拋物線相交于點C．
  （1）求點B的坐標，并說明點D在直線l上的理由；
  （2）設(shè)交點C的橫坐標為m.
   ①交點C的縱坐標可以表示為：

   

  或

   

  ，由此進一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；
   ②如圖2，若∠ACD=90°，求m的值．
  
  組卷：748引用：51難度：0.5

  解析

• 7．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  與直線y=x交于點A，點B在直線y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  上，∠BOA=90°．拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，頂點為點E．
  （1）求點A，B的坐標；
  （2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標；
  （3）設(shè)直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．
  組卷：383引用：51難度：0.5

  解析

• 8．如圖1，過點A（0，4）的圓的圓心坐標為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點，且BC⊥AC，拋物線y=

  -

  1

  2

  x²+bx+c經(jīng)過C、B兩點，與x軸的另一交點為D．
  （1）點B的坐標為（

   

  ，

   

  ），拋物線的表達式為

   

  ；
  （2）如圖2，求證：BD∥AC；
  （3）如圖3，點Q為線段BC上一點，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點P，求AP的長．
  
  組卷：2083引用：51難度：0.5

  解析

• 9．如圖，拋物線y=-x²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E．
  （1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；
  （2）求△ODE面積的最大值及相應(yīng)的點E的坐標；
  （3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
  組卷：532引用：52難度：0.5

  解析

• 10．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3．取BO的中點D，連接CD、MD和OC．
  （1）求證：CD是⊙M的切線；
  （2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
  （3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使S_△QAM=

  1

  6

  S_△PDM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：468引用：51難度：0.5

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（1，4），它與直線y₂=x+1的一個交點的橫坐標為2．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在給出的坐標系中畫出拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直線y₂=x+1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
  （3）設(shè)拋物線與x軸的右邊交點為A，過點A作x軸的垂線，交直線y₂=x+1于點B，點P在拋物線上，當S_△PAB≤6時，求點P的橫坐標x的取值范圍．
  組卷：339引用：52難度：0.5

  解析

• 30．在平面直角坐標系xOy中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒

  2

  個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．
  （1）當點P移動到點D時，求出此時t的值；  
  （2）當t為何值時，△PQB為直角三角形；
  （3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=-

  1

  t

  （x-t）²+t（t＞0）．問是否存在某一時刻t,將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應(yīng)頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：747引用：51難度：0.5

  解析