2022-2023學年遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高一（下）期中數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.

• 1．cos20°cos385°-cos70°sin155°=（　?。?/h2>

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D．1
  組卷：141引用：2難度：0.8

  解析

• 2．下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  上為減函數(shù)的是（　?。?/h2>

  A．y=2|sinx|

  B．y=cosx

  C．y=sin2x

  D．y=|cosx|
  組卷：964引用：6難度：0.9

  解析

• 3．已知

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，且

  a

  ⊥

  （

  a

  +

  b

  ）

  則

  a

  在

  b

  上的投影數(shù)量為（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C． 1 2

  D． - 1 2
  組卷：108引用：2難度：0.8

  解析

• 4．古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率φ，且黃金分割率的值也可以用2sin18°表示，則

  8

  φ

  2

  cos

  2

  18

  °

  2

  -

  φ

  =（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  組卷：131引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知f（x）=sin（ωx-

  π

  6

  ）-cosωx（ω＞0），將f（x）圖象上橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變時），得到求g（x）的圖象．g（x）的部分圖象如圖所示（D，C分別是函數(shù)的最高點和最低點），其中

  CA

  ?

  CB

  =

  |

  AD

  |

  2

  2

  ，則ω=（　?。?/h2>

  A． π 4

  B． π 2

  C．π

  D．2π
  組卷：207引用：2難度：0.5

  解析

• 6．已知

  a

  =

  （

  cos

  （

  α

  -

  π

  6

  ）

  ，

  1

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  2

  sinα

  ）

  且

  a

  ?

  b

  =

  1

  3

  ，則

  sin

  （

  π

  6

  -

  2

  α

  ）

  =（　?。?/h2>

  A． 7 9

  B． - 7 9

  C． ± 7 9

  D． - 2 9
  組卷：74引用：1難度：0.6

  解析

• 7．已知函數(shù)f（x）=

  3

  sin²ωx+2sinωxcosωx-

  3

  cos²ωx-1（ω＞0），給出下列4個結(jié)論：
  ①f（x）的最小值是-3；
  ②若ω=1，則f（x）在區(qū)間

  （

  -

  π

  12

  ，

  5

  π

  12

  ）

  上單調(diào)遞增；
  ③將y=sinx的函數(shù)圖象橫坐標縮短為原來的

  1

  4

  倍，再向右平移

  π

  12

  個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得函數(shù)y=f（x）的圖象，則ω=2；
  ④若存在互不相同的x₁，x₂，x₃∈[0，π]，使得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=3，則ω≥

  29

  12

  
  其中所有正確結(jié)論的序號是（　?。?/h2>

  A．①②④

  B．①③④

  C．②③④

  D．①②
  組卷：179引用：3難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角△ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點P為半圈上一點（異于B，C），點H在線段AB上，且滿足CH⊥AB．已知∠ACB=90°，AB=1dm,設(shè)∠ABC=θ．
  （1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC=∠PCB，且CA+CP達到最大．當θ為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；
  （2）為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠PBA=60°，且CH+CP達到最大．當θ為何值時，CH+CP取得最大值，并求該最大值．
  組卷：300引用：19難度：0.5

  解析

• 22．已知O為坐標原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx,稱向量

  OM

  =（a,b）為函數(shù)f（x）的伴隨向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量

  OM

  的伴隨函數(shù)．
  （Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=

  3

  sin

  （

  x

  -

  π

  ）

  -

  sin

  （

  3

  2

  π

  -

  x

  ）

  ，試求g（x）的伴隨向量

  OM

  ；
  （Ⅱ）記向量

  ON

  =（1，

  3

  ）的伴隨函數(shù)為f（x），求當f（x）=

  8

  5

  且

  x

  ∈

  （

  -

  π

  3

  ，

  π

  6

  ）

  時cosx的值；
  （Ⅲ）由（Ⅰ）中函數(shù)g（x）的圖象（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移

  2

  π

  3

  個單位長度得到h（x）的圖象，已知A（-2，3），B（2，6），問在y=h（x）的圖象上是否存在一點P，使得

  AP

  ⊥

  BP

  ．若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：169引用：4難度：0.3

  解析