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2023-2024學年北京市東城區(qū)景山學校高三（上）開學數學試卷

發(fā)布：2024/7/28 8:0:9

一、選擇題（共10小題，共40分）

1．已知集合
A
=
{
x
|
|
x
-
3
2
|
≤
1
}
，
B
=
{
-
2
，
0
，
1
，
2
，
4
}
，則A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{1，2，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，4}
組卷：165引用：3難度：0.8
解析
2．下列函數中，值域為[0，+∞）的偶函數是（　?。?/h2>
A．y=x²-1 B．y=lnx C．y=cosx D．y=|x|
組卷：87引用：3難度：0.8
解析
3．使得命題“?x∈R，kx²+2kx-3＜0”為真命題的k的取值范圍（　　）
A．（-3，0） B．（-3，0] C．（-3，1） D．（3，+∞）
組卷：295難度：0.6
解析
4．設函數
f
（
x
）
=
4
x
-
2
，
x
＜
2
a
x
，
x
≥
2
（a＞0且a≠1），若f（f（1））=16，則a=（　?。?/h2>
A．
1
4
B．
1
2
C．2 D．4
組卷：26引用：2難度：0.8
解析
5．若
a
=
lo
g
1
2
3
，
b
=
lo
g
1
3
2
，
c
=
（
1
2
）
1
3
，則a,b,c的大小關系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
組卷：107難度：0.8
解析
6．教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%．經測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為y%，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數
y
=
0
.
05
+
λ
e
-
t
10
（
λ
∈
R
）
描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數值為（　?。?br />（參考數據ln2≈0.693，ln3≈1.098）
A．5 B．7 C．9 D．10
組卷：396引用：17難度：0.8
解析
7．已知函數f（x）=sin（x-φ）且
cos
（
π
3
-
φ
）
=
cosφ
，則函數f（x）的圖像的一條對稱軸是（　　）
A．
x
=
-
π
3
B．
x
=
-
π
6
C．
x
=
π
3
D．
x
=
π
6
組卷：93引用：3難度：0.6
解析

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三、解答題（共6小題，共85分）

20．已知函數
f
（
x
）
=
ax
ln
（
x
+
b
）
（
a
≠
0
）
，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=x-1．
（1）求a、b的值；
（2）求證：f（x）＜x；
（3）若函數g（x）=f（x）+t（x²-x）在區(qū)間（1，+∞）上無零點，求t的取值范圍．
組卷：40引用：2難度：0.5
解析
21．給定整數n（n≥2），數列A_2n+1：x₁，x₂，…，x_2n+1每項均為整數，在A_2n+1中去掉一項x_k，并將剩下的數分成個數相同的兩組，其中一組數的和與另外一組數的和之差的最大值記為m_k（k=1，2，…，2n+1）．將m₁，m₂，…，m_2n+1中的最小值稱為數列A_2n+1的特征值．
（Ⅰ）已知數列A₅：1，2，3，3，3，寫出m₁，m₂，m₃的值及A₅的特征值；
（Ⅱ）若x₁≤x₂≤…≤x_2n+1，當[i-（n+1）][j-（n+1）]≥0，其中i,j∈{1，2，…，2n+1}且i≠j時，判斷|m_i-m_j|與|x_i-x_j|的大小關系，并說明理由；
（Ⅲ）已知數列A_2n+1的特征值為n-1，求
∑
1
≤
i
＜
j
≤
2
n
+
1
|
x
i
-
x
j
|
的最小值．
組卷：618引用：10難度：0.1
解析