2022-2023學(xué)年山東省青島五十八中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)選項(xiàng)要求的．

• 1．已知圓錐的底面半徑為

  2

  ，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（　　）

  A．2

  B．2 2

  C．4

  D．4 2
  組卷：6236引用：43難度：0.8

  解析

• 2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z₁=1+i,z₂=2-i,z₃=1+mi（m∈R）分別表示向量

  OA

  ，

  OB

  ，

  OC

  ，若

  AB

  ⊥

  OC

  ，則|z₃|=（　?。?/h2>

  A． 2

  B． 3

  C． 5 2

  D． 7 2
  組卷：82引用：2難度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，2），

  b

  =（1，1），且

  a

  與

  a

  +λ

  b

  的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．（ 5 3 ，+∞）	B．（-∞，- 5 3 ）
  C．（- 5 3 ，0）	D．（- 5 3 ，0）∪（0，+∞）
  組卷：211引用：7難度：0.9

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• 4．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km²；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km²．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（

  7

  ≈2.65）（　?。?/h2>

  A．1.0×109m3

  B．1.2×109m3

  C．1.4×109m3

  D．1.6×109m3
  組卷：3599引用：20難度：0.7

  解析

• 5．在直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2

  2

  ，0），B（2

  2

  ，2），C（0，6）．在用斜二測(cè)畫法畫出的它的直觀圖中，四邊形O'A'B'C'的周長(zhǎng)為（　　）

  A．8

  B．10

  C． 5 + 2 2

  D． 6 + 2 2
  組卷：136引用：2難度：0.8

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• 6．已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則

  AP

  ?

  AB

  的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-2，6）

  B．（-6，2）

  C．（-2，4）

  D．（-4，6）
  組卷：6855引用：39難度：0.5

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• 7．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在三棱錐C₁-BCD的側(cè)面C₁CB表面上運(yùn)動(dòng)，且

  A

  1

  P

  =

  15

  3

  ，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是（　?。?/h2>

  A． 3 6 π

  B． 6 9 π

  C． 6 3 π

  D． 3 3 π
  組卷：96引用：4難度：0.5

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四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為4，△A₁BC的面積為

  2

  2

  ．
  （1）求A到平面A₁BC的距離；
  （2）設(shè)D為A₁C的中點(diǎn)，AA₁=AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-BD-C的正弦值．
  組卷：11216引用：28難度：0.5

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• 22．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”．
  在△ABC中，試解決以下問(wèn)題：
  （1）G是三角形的重心（三條中線的交點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)G作一條直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．
  （?。┯?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，請(qǐng)用

  a

  ，

  b

  表示

  AG

  ；
  （ⅱ）

  AM

  =m

  AB

  ，

  AN

  =n

  AC

  ，求4m+n的最小值．
  （2）已知點(diǎn)O是△ABC的____，且

  AO

  =

  1

  4

  AB

  +

  1

  3

  AC

  ，求cos∠BAC．
  請(qǐng)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)填在上述橫線上，并完成解答．
  ①外心（三條垂直平分線的交點(diǎn)）；
  ②垂心（三條高的交點(diǎn)）．