人教五四新版九年級（上）中考題同步試卷：28.3 二次函數(shù)與實際問題（19）

一、填空題（共1小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動點P在拋物線y=ax²上，⊙P恒過點F（0，n），且與直線y=-n始終保持相切，則n=

  （用含a的代數(shù)式表示）．
  組卷：2771引用：55難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
  （1）求這個二次函數(shù)的表達式．
  （2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  （3）當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．
  組卷：7162引用：149難度：0.3

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• 3．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
  （3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo)．
  組卷：1284引用：76難度：0.1

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• 4．如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

  5

  2

  ）三點．
  （Ⅰ）求拋物線的解析式；
  （Ⅱ）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)．
  （Ⅲ）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：3108引用：92難度：0.3

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• 5．如圖，二次函數(shù)y=

  1

  2

  x²+bx-

  3

  2

  的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．
  （1）請直接寫出點D的坐標(biāo)：

  ；
  （2）當(dāng)點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
  （3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：2970引用：69難度：0.1

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• 6．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）求點D的坐標(biāo)；
  （3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2258引用：72難度：0.1

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• 7．綜合與探究：
  如圖，拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x-4與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
  （1）求點A，B，C的坐標(biāo)．
  （2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M，N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由．
  （3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：2390引用：63難度：0.1

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• 8．如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）求證：AO=AM；
  （3）探究：
  ①當(dāng)k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值；
  ②試說明無論k取何值，

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值都等于同一個常數(shù)．
  組卷：1966引用：61難度：0.3

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• 9．如圖，已知拋物線y=

  1

  2

  x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a,12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．
  （1）求拋物線的函數(shù)解析式；
  （2）若點C為OA的中點，求BC的長；
  （3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點D的坐標(biāo)為（m,n），求出m,n之間的關(guān)系式．
  （4）將射線OA繞原點旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點P，求出P點坐標(biāo)．
  組卷：1159引用：57難度：0.1

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• 10．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
  （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．
  組卷：1947引用：73難度：0.1

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l,l與x軸交于點H．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
  （3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,△ADF的面積為S．
  ①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
  ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1555引用：58難度：0.1

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• 30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx-3（a,b是常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點P、Q．
  （1）求a和b的值；
  （2）求t的取值范圍；
  （3）若∠PCQ=90°，求t的值．
  組卷：756引用：49難度：0.1

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