2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：（本題共有12個(gè)小題，1-6每小題3分，7-12每小題3分，滿分42分）

• 1．i²⁰²³=

  ．
  組卷：127引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知平面α，直線l,點(diǎn)A、B，若A∈l,B∈l,且A∈α，B∈α，則l

  α （填數(shù)學(xué)符號(hào)）．
  組卷：89引用：4難度：0.9

  解析

• 3．已知空間兩個(gè)角α、β，且α的兩邊與β的兩邊分別平行，若α=30°，則β的大小為

  ．
  組卷：28引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則異面直線AA₁與B₁D₁之間的距離是

  ．
  組卷：26引用：2難度：0.5

  解析

• 5．若

  a

  ⊥

  b

  ，

  c

  與

  a

  、

  b

  的夾角都是60°，且

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  |

  c

  |

  =

  3

  ，則

  |

  a

  +

  2

  b

  -

  c

  |

  =

  ．
  組卷：46引用：2難度：0.6

  解析

• 6．四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2，則二面角A-BC-D的大小為

  ．
  組卷：57引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題：（本題共有4大題，滿分42分.解題時(shí)要有必要的解題步驟）

• 19．《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云．中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得．”
  
  如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD；
  
  （1）若AB=1，BC=2，CD=1，試求異面直線AC與BD所成角的余弦值．
  （2）若BD⊥CD，AB=BD=CD=2，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)．試求△PBD面積的最小值．
  組卷：88引用：4難度：0.4

  解析

• 20．在數(shù)列{a_n}中，

  a

  n

  =

  - 1	n = 1
  2 a n - 1 + 3	n ≥ 2

  ．在等差數(shù)列{b_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，b₁=2，2b₃+S₅=28．
  （1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
  （2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=（a_n+3b_n）cosnπ，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和記為T_n，試判斷是否存在正整數(shù)m,使得T_m=2023？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
  組卷：80引用：3難度：0.5

  解析