2023年四省聯(lián)考（安徽省、吉林省、黑龍江省、云南?。└呖紨?shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（2月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．設(shè)z=1+i,則z²-i=（　?。?/h2>

  A．i

  B．-i

  C．1

  D．-1
  組卷：155引用：4難度：0.8

  解析

• 2．設(shè)集合A={2，3，a²-2a-3}，B={0，3}，C={2，a}．若B?A，A∩C={2}，則a=（　?。?/h2>

  A．-3

  B．-1

  C．1

  D．3
  組卷：441引用：5難度：0.7

  解析

• 3．甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動(dòng)，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（　?。?/h2>

  A． 1 6

  B． 1 4

  C． 1 3

  D． 1 2
  組卷：435引用：10難度：0.7

  解析

• 4．平面向量

  a

  與

  b

  相互垂直，已知

  a

  =（6，-8），

  |

  b

  |

  =

  5

  ，且

  b

  與向量（1，0）的夾角是鈍角，則

  b

  =（　?。?/h2>

  A．（-3，-4）

  B．（4，3）

  C．（-4，3）

  D．（-4，-3）
  組卷：494引用：10難度：0.7

  解析

• 5．已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，若△ABC是正三角形，則D的離心率是（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 6 3

  D． 3 2
  組卷：739引用：7難度：0.8

  解析

• 6．三棱錐A-BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB=3，BD=1，則該三棱錐體積的最大值為（　　）

  A．2

  B． 4 3

  C．1

  D． 2 3
  組卷：433引用：6難度：0.4

  解析

• 7．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在R的導(dǎo)函數(shù)存在，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)x∈（a,b）時(shí)（　?。?/h2>

  A．f（x）＜g（x）	B．f（x）＞g（x）
  C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）	D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
  組卷：684引用：12難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)

  A

  （

  4

  2

  ，

  3

  ）

  ，且焦距為10．
  （1）求C的方程；
  （2）已知點(diǎn)

  B

  （

  4

  2

  ，-

  3

  ）

  ，

  D

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：

  |

  GD

  |

  |

  GE

  |

  =

  |

  HD

  |

  |

  HE

  |

  ．
  組卷：589引用：7難度：0.5

  解析

• 22．橢圓曲線加密算法運(yùn)用于區(qū)塊鏈．
  橢圓曲線C={（x,y）|y²=x³+ax+b,4a³+27b²≠0}．P∈C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為

  ～

  P

  ．C在點(diǎn)P（x,y）（y≠0）處的切線是指曲線y=±

  x

  3

  +

  ax

  +

  b

  在點(diǎn)P處的切線．定義“⊕”運(yùn)算滿足：①若P∈C，Q∈C，且直線PQ與C有第三個(gè)交點(diǎn)R，則P⊕Q=

  ～

  R

  ；②若P∈C，Q∈C，且PQ為C的切線，切點(diǎn)為P則P⊕Q=

  ～

  P

  ；③若P∈C，規(guī)定P⊕

  ～

  P

  =

  0

  °

  ，且P⊕0°=0°⊕P=P．
  （1）當(dāng)4a³+27b²=0時(shí)，討論函數(shù)h（x）=x³+ax+b零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
  （2）已知“⊕”運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，若P∈C，Q∈C，且PQ為C的切線，切點(diǎn)為P，證明：P⊕P=

  ～

  Q

  ；
  （3）已知P（x₁，y₁）∈C，Q（x₂，y₂）∈C，且直線PQ與C有第三個(gè)交點(diǎn)，求P⊕Q的坐標(biāo)．
  參考公式：m³-n³=（m-n）（m²+mn+n²）
  組卷：260引用：3難度：0.3

  解析