2007年第2屆“南方杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試卷（初一）

一、選擇題（共6小題，每小題6分，滿分36分）

• 1．若

  （

  a

  -

  1

  ）

  2

  +

  a

  2

  =

  1

  -

  2

  a

  ，則|1-a|-|a|=（　　）

  A．1-2a	B．1
  C．-1	D．以上答案都不對(duì)
  組卷：96引用：5難度：0.9

  解析

• 2．若m、n是有理數(shù)，關(guān)于x的方程3m（2x-1）-n=3（2-n）x有至少兩個(gè)不同的解，則另一個(gè)關(guān)于x的方程（m+n）x+3=4x+m的解的情況是（　?。?/h2>

  A．有至少兩個(gè)不同的解	B．有無限多個(gè)解
  C．只有一個(gè)解	D．無解
  組卷：1113引用：3難度：0.9

  解析

• 3．若a、b、c均為非零有理數(shù)，a²+b²+c²=（a+b+c）²，則

  （

  c

  a

  +

  c

  b

  +

  3

  ）

  3

  =（　　）

  A．8

  B．27

  C．64

  D．1
  組卷：309引用：1難度：0.9

  解析

• 4．數(shù)2007⁸+8²⁰⁰⁷的個(gè)位數(shù)字是（　B?。?/h2>

  A．1

  B．3

  C．5

  D．9
  組卷：94引用：1難度：0.9

  解析

• 5．若a、b、c、n均是整數(shù)，且|a+n|+|2n-b|+|3c+3n|=2007，則a、b、c中必有（　?。?/h2>

  A．兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)

  B．一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)

  C．三個(gè)奇數(shù)

  D．一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)或三個(gè)奇數(shù)
  組卷：118引用：1難度：0.9

  解析

三、解答題（共4小題，滿分60分）

• 15．已知下面著名的“勾股定理”：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方．
  試問：是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的直角三角形？
  （1）三條邊長(zhǎng)均是正整數(shù)；
  （2）一條直角邊為素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)）p.若存在，請(qǐng)求出另一條直角邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：73引用：1難度：0.1

  解析

• 16．如圖，M是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，P是線段AM的中點(diǎn)，直線CP交AB邊于點(diǎn)D．
  試求

  BD

  AD

  及

  CP

  PD

  的值．
  組卷：160引用：1難度：0.1

  解析